微分の基本公式
微分の基本公式
\(a,b\)は定数とする。
\(a,b\)は定数とする。
(1)定数倍
\[ \left(af(x)\right)'=af'(x) \](2)和と差の微分
\[ \left(f(x)\pm g(x)\right)'=f'(x)\pm g'(x) \](3)線形性
\[ \left(af(x)\pm bg(x)\right)'=af'(x)\pm bg'(x) \](4)積の微分
\[ \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \](5)商の微分
\[ \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)'=\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^{2}(x)} \](6)逆数の微分
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'=-\frac{f'(x)}{f^{2}(x)} \](1)
\begin{align*} \left(af(x)\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{af(x+\Delta x)-af(x)}{\Delta x}\\ & =a\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\ & =af'(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(f(x)\pm g(x)\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left\{ f(x+\Delta x)\pm g(x+\Delta x)\right\} -\left\{ f(x)\pm g(x)\right\} }{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\left\{ f(x+\Delta x)-f(x)\right\} \pm\left\{ g(x+\Delta x)-g(x)\right\} }{\Delta x}\\ & \lim_{\Delta x\rightarrow0}\left\{ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\pm\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right\} \\ & =f'(x)\pm g'(x) \end{align*}(3)
\begin{align*} \left(af(x)\pm bg(x)\right)' & =\left(af(x)\right)'\pm\left(bg(x)\right)'\\ & =af'(x)\pm bg'(x) \end{align*}(4)
\begin{align*} \left(f(x)g(x)\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x+\Delta x)+f(x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}g(x+\Delta x)+f(x)\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)\\ & =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align*}(5)
\begin{align*} \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)' & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta x}\left(\frac{g(x+\Delta x)}{f(x+\Delta x)}-\frac{g(x)}{f(x)}\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta xf(x+\Delta x)f(x)}\left(g(x+\Delta x)f(x)-g(x)f(x+\Delta x)\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{\Delta xf(x+\Delta x)f(x)}\left(g(x+\Delta x)f(x)-g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x+\Delta x)\right)\\ & =\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{1}{f(x+\Delta x)f(x)}\left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}f(x)-g(x)\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)\\ & =\frac{g'(x)f(x)-g(x)f'(x)}{f^{2}(x)} \end{align*}(6)
\begin{align*} \left(\frac{1}{f(x)}\right)' & =\frac{(1)'f(x)-1f'(x)}{f^{2}(x)}\\ & =-\frac{f'(x)}{f^{2}(x)} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 微分の基本公式 |
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べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]
基本関数の微分
\[
\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a
\]