(*)フルヴィッツの公式
\[
\zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\}
\]
カテゴリー: 数学
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[
\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt
\]
フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開
\[
\frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right)
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
フルヴィッツのゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}}
\]
巾関数の積分表現
\[
\frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt
\]
ガンマ関数のハンケル積分表示
\[
\Gamma\left(z\right)=\frac{i}{2\sin\left(\pi z\right)}\int_{C}\left(-\tau\right)^{z-1}e^{-\tau}d\tau
\]
指数型不等式
\[
\sgn\left(x^{n+1}\right)\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\leq\sgn\left(x^{n+1}\right)e^{x}
\]
相加平均・相乗平均・調和平均の関係
\[
\mu_{H}\left(x_{1},x_{2}\right)=\frac{\mu_{G}^{\;2}\left(x_{1},x_{2}\right)}{\mu_{A}\left(x_{1},x_{2}\right)}
\]
相加平均・相乗平均・調和平均の大小関係
\[
\text{調和平均}\leq\text{相乗平均}\leq\text{相加平均}
\]
相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義
\[
\mu_{A}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\]
ラマヌジャンの無限根
\[
1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3
\]
1次式の逆n乗和
\[
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left(\alpha k+\beta\right)^{n}}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\alpha^{n}\left(n-1\right)!}\left\{ \psi^{\left(n-1\right)}\left(m+1+\frac{\beta}{\alpha}\right)-\psi^{\left(n-1\right)}\left(1+\frac{\beta}{\alpha}\right)\right\}
\]
分母と分子交互に根号の総乗
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\sqrt[2k-1]{\alpha}}{\sqrt[2k]{\alpha}}=2^{\Log\alpha}
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
\[
\tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z}
\]
三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
\[
\sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}
\]
(*)分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}}
\]
分母に2乗のルートがある積分
\[
\int\frac{1}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}dz=\frac{\sqrt{\alpha}\sqrt{\frac{z^{2}}{\alpha}+1}}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}\sinh^{\bullet}\frac{z}{\sqrt{\alpha}}+C
\]
分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z\pm1\right)\sqrt{z^{2}-1}}dz=\frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\pm z+1}+C
\]
三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分
\[
\int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\bullet}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C
\]
3角関数(双曲線関数)の逆3角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件
\[
\sin^{\bullet}\sin z=?z
\]
ヘヴィサイドの階段関数の問題
\[
f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)g\left(-H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)g\left(H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left\{ f\left(0\right)g\left(0\right)+f\left(\pm1\right)g\left(\mp1\right)\right\} H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left\{ f\left(0\right)g\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)g\left(\mp_{1}1\right)\right\} H\left(\mp_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値を引数に持つ関数の和と差
\[
f\left(H\left(\pm_{1}1\right)\right)\pm_{2}f\left(-H\left(\mp_{1}1\right)\right)=\left(f\left(0\right)+f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\pm_{2}1\right)\mp_{1}\left(f\left(0\right)-f\left(\pm_{1}1\right)\right)H\left(\mp_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値の和と差
\[
H\left(\pm_{1}1\right)\pm_{2}H\left(\pm_{1}1\right)=H\left(\pm_{2}1\right)\pm_{1}H\left(\pm_{2}1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値と関数
\[
f\left(x\right)H\left(\pm1\right)=f\left(\pm x\right)H\left(\pm1\right)
\]
ヘヴィサイドの階段関数の２定義値と複号
\[
H\left(\pm1\right)=\frac{1\pm1}{2}
\]
最大値・最小値と絶対値の関係
\[
\min\left(-x,x\right)=-\left|x\right|
\]