ベルトランの箱問題

ベルトランの箱問題
3つの箱がある。箱の中身はそれぞれ金貨が2枚、銀貨が2枚、金貨と銀貨が1枚ずつ入っている。
箱を1つ選び、1枚だけ硬貨を取り出したところ金貨だった。
もう1枚が金貨である確率はいくらでしょうか?

金貨が2枚入っている箱をGG、銀貨が2枚入っている箱をSS、金貨と銀貨が1枚ずつ入っている箱をGSとする。
1枚だけ硬貨を取り出したとき金貨である事象をg、銀貨である事象をsで表す。
このとき2枚目も金貨を取り出すにはGGの箱を選ぶしかないので、

\begin{align*} P\left(GG;g\right) & =\frac{P\left(GG\cap g\right)}{P\left(g\right)}\\ & =\frac{P\left(g;GG\right)P\left(GG\right)}{P\left(g\right)}\\ & =\frac{P\left(g;GG\right)P\left(GG\right)}{P\left(g;GG\right)P\left(GG\right)+P\left(g;SS\right)P\left(SS\right)+P\left(g;GS\right)P\left(GS\right)}\\ & =\frac{P\left(g;GG\right)}{P\left(g;GG\right)+P\left(g;SS\right)+P\left(g;GS\right)}\\ & =\frac{1}{1+\frac{1}{2}}\\ & =\frac{2}{3} \end{align*}

となる。

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ベルトランの箱問題

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