階乗の冪婚を含む極限値問題
階乗の冪婚を含む極限値問題
次の極限値を求めよ。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \]
次の極限値を求めよ。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} \]
\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right)\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(\log n-\frac{1}{n}\log n!\right)\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\exp\left(-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\frac{k}{n}\right)\\
& =\exp\left(-\int_{0}^{1}\log xdx\right)\\
& =\exp\left(-\left[x\log x-x\right]_{0}^{1}\right)\\
& =\exp\left(1\right)\\
& =e
\end{align*}
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タイトル | 階乗の冪婚を含む極限値問題 |
URL | https://www.nomuramath.com/yv9np3wd/ |
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1=2の証明
この証明はどこが間違えてる?
log₂3とlog₃5の大小比較
\[
\log_{2}3\lesseqgtr\log_{3}5
\]
2変数2次式の最小値
$x^{2}+2xy+2y^{2}+2x+3$の最小値
iのi乗
\[
\Im\left(i^{i}\right)=0
\]