y/xを求める問題
y/xを求める問題
\[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x-y}\;,\;0<x<y \]
このとき、\(\frac{y}{x}\)を求めよ。
両辺に\(xy\left(x-y\right)\ne0\)をかけて、
\[ y\left(x-y\right)+x\left(x-y\right)=xy \]
これより、
\begin{align*} 0 & =x^{2}-xy-y^{2}\\ & =-x^{2}\left(\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right)-1\right) \end{align*}
\(x\ne0\)なので
\[ \left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right)-1=0 \]
これを\(\frac{y}{x}\)について解くと、
\begin{align*} \frac{y}{x} & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*}
\(0<x<y\)なので、\(1<\frac{y}{x}\)であるので、
\[ \frac{y}{x}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \]
となる。
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タイトル | y/xを求める問題 |
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分母に(1+x²)²を含む積分
\[
\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C
\]
tanの立方根の積分
\[
\int\sqrt[3]{\tan x}dx=\frac{1}{4}\log\left(\tan^{\frac{4}{3}}x-\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan^{\bullet}\left(\frac{2\tan^{\frac{2}{3}}x-1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+C
\]
eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[
e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e}
\]
分母に階乗の和を含む総和
\[
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{100}{98!+99!+100!}=?
\]