y/xを求める問題

両辺に\(xy\left(x-y\right)\ne0\)をかけて、

\[ y\left(x-y\right)+x\left(x-y\right)=xy \]

これより、

\begin{align*} 0 & =x^{2}-xy-y^{2}\\ & =-x^{2}\left(\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right)-1\right) \end{align*}

\(x\ne0\)なので

\[ \left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right)-1=0 \]

これを\(\frac{y}{x}\)について解くと、

\begin{align*} \frac{y}{x} & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*}

\(0<x<y\)なので、\(1<\frac{y}{x}\)であるので、

\[ \frac{y}{x}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \]

となる。