射影と成分への射影の定義
\[
\pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M}
\]
カテゴリー: 数学
直和と直積・デカルト冪の定義
\[
\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\}
\]
順序対の定義
\[
\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}
\]
分割と同値関係と商集合の関係
\[
x\sim y\Leftrightarrow\exists P\in\mathcal{P},x\in P\land y\in P
\]
集合の分割の定義
\[
\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \cup\left\{ b,c\right\}
\]
集合族の和集合と積集合の定義
\[
\bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\}
\]
集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義
\[
\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}
\]
全体集合と補集合の定義
\[
A^{c}:=X\setminus A
\]
交わりと互いに素の定義
\[
A\cap B=\emptyset
\]
互いに素な集合と対角集合の関係
\[
A\cap B=\emptyset\Leftrightarrow\left(A\times B\right)\cap\Delta_{X}=\emptyset
\]
対角集合の定義
\[
\Delta_{X}=\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} \subseteq X^{2}
\]
ラッセルのパラドックス
$\left\{ A;A\notin A\right\} $は集合ではない
空集合は任意の集合の部分集合
\[
\emptyset\subseteq A
\]
冪集合の定義
\[
2^{A}
\]
集合の相等・部分集合・真部分集合の定義
\[
A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land A\supseteq B
\]
空集合の定義と性質
\[
\emptyset=\left\{ \right\}
\]
外延的記法と内包的記法
\[
\left\{ a,b,c\right\}
\]
集合と要素の定義
\[
a\in A
\]
内部の最大性と閉包の最小性
\[
O\subseteq A\Leftrightarrow O\subseteq A^{i}
\]
空集合・全体集合の内部・外部・境界・閉包・導集合・孤立点全体の集合
\[
X^{s}=\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\}
\]
稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
\[
A^{a}=X
\]
導集合・孤立点全体の集合の別表現
\[
A^{d}=\left\{ x\in A;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}_{A},\right\} \cup\left(A^{f}\setminus A\right)
\]
位相空間での内部・閉包・境界・導集合・孤立点全体の集合と和集合・積集合
\[
A^{i}\cup B^{i}\subseteq\left(A\cup B\right)^{i}
\]
位相空間で集積点・孤立点を持たないとき
\[
A^{d}=\emptyset\Leftrightarrow\forall x\in X,\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap A\subseteq\left\{ x\right\}
\]
位相空間での内部・外部・境界・閉包・導集合孤立点全体の集合の定義
\[
\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\subseteq A
\]
位相空間での開集合・閉集合と内部・境界・閉包・導集合の基本
\[
A^{i}\subseteq A
\]
位相空間での閉集合系による位相
\[
F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F}
\]
位相空間での位相と開集合閉集合の定義
\[
\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O}
\]