離散位相は距離化可能
離散位相は距離化可能
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は離散距離空間\(\left(X,d\right)\)で距離化可能である。
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は離散距離空間\(\left(X,d\right)\)で距離化可能である。
任意の\(x\in X\)に対し\(U_{1/2}\left(x\right)=\left\{ x\right\} \)となるので\(\left\{ x\right\} \)は開集合となる。
任意の部分集合\(A\subseteq X\)をとると、\(A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \)となるので\(A\)は開集合となる。
これより、離散距離空間\(\left(X,d\right)\)の開集合\(\mathcal{O}_{d}\)は\(\mathcal{O}_{d}=2^{x}\)となるので題意は成り立つ。
任意の部分集合\(A\subseteq X\)をとると、\(A=\bigcup_{x\in A}\left\{ x\right\} \)となるので\(A\)は開集合となる。
これより、離散距離空間\(\left(X,d\right)\)の開集合\(\mathcal{O}_{d}\)は\(\mathcal{O}_{d}=2^{x}\)となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 離散位相は距離化可能 |
| URL | https://www.nomuramath.com/s4i1c176/ |
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全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
pノルム(一般化ユークリッド空間距離)は距離空間
\[
d_{m}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{m}\right)^{\frac{1}{m}}=\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right\Vert _{m}
\]
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]