毒入りワイン
毒入りワインを特定するのに何人が必要？
ルートiが無限に続くといくつになる？
\[
\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?
\]
逆3角関数の積の方程式
\[
\Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi^{2}}{18},x=?
\]
2番目に大きい数字
2番目に大きい数字を選んだ人が勝つゲームはどうなる？
1と3角関数・双曲線関数(半角の公式の拡張)
\[
1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}
\]
sinとcosの5乗が1になる方程式
\[
\sin^{5}x+\cos^{5}x=1,x=?
\]
γとπが出てくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log^{2}\left(x\right)dx=?
\]
3角関数と3角関数の対数の積分
\[
\int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C
\]
ガウス積分の応用
\[
\int_{0}^{\infty}x^{\gamma}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{\alpha^{-\frac{1+\gamma}{b}}}{1+\gamma}\Gamma\left(\frac{1+\gamma}{b}+1\right)
\]
(*)ガンマ関数と複素数
\[
\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\theta}}z^{\alpha-1}e^{-z}dz=\Gamma\left(\alpha\right)
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
ガウス積分の一般化
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{b}}dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}}\Gamma\left(\frac{1}{b}+1\right)
\]
ガウス積分
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-\alpha x^{2}}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}
\]
フレネル積分の級数表示
\[
\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx=\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{x^{4k+3}}{\left(2k+1\right)!\left(4k+3\right)}
\]
フレネル積分の一般化
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{a}\right)dx=\Gamma\left(\frac{1}{a}+1\right)\sin\frac{\pi}{2a}
\]
フレネル積分の値
\[
\int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\frac{\sqrt{2\pi}}{4}
\]
フレネル積分の定義
\[
S\left(x\right):=\int_{0}^{x}\sin\left(x^{2}\right)dx
\]
分子が対数で分母が多項式の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=?
\]
積み木の積み上げ問題
積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？
4枚カード問題(ウェイソン選択課題)
仮説を検証するにはどのカードの裏面を確認する必要があるか？
床関数の総和の2乗の定積分
\[
\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\left\lfloor 2^{k}x\right\rfloor }{3^{k}}\right)^{2}dx=?
\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]