有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分
有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分である。
カテゴリー: 実解析
絶対収束するならば順序変更可能
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{\sigma\left(k\right)}
\]
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]
無限正項級数は順序変更出来る
無限正項級数は順序変更できる。
条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
収束する数列の部分列は同じ値に収束する
無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]
ラクランジュの未定乗数法
\[
F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{m}\right)=f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}g_{k}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)
\]
階乗と冪乗の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^{n}}{n!}=0
\]
中央2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}
\]
二項係数とベータ関数を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}4^{n}B(n,n)=2\sqrt{\pi}
\]
ウォリス積分を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\]
ウォリス積分の値
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}
\]
ウォリス積分の同表示
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}\theta d\theta
\]
ウォリス積分の定義
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta
\]
ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
2重根号
\[
\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)
\]
(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)
\]
一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}
\]
logの2乗の級数表示
\[
\log^{2}(1-x)=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{k+1}x^{k+1}
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
ベッセル関数のポアソン積分表示
\[
J_{\nu}(z)=\frac{1}{\sqrt{\pi}\Gamma\left(\nu+\frac{1}{2}\right)}\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu}\int_{-1}^{1}(1-t^{2})^{\nu-\frac{1}{2}}e^{izt}dt
\]
対数の公式
\[
\log M-\log N=\log\frac{M}{N}
\]
対数の基本公式
\[
\log M+\log N=\log MN
\]
対数の指数
\[
a^{\log_{b}c}=c^{\log_{b}a}
\]
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx
\]
コーシーの関数方程式と関数方程式の基本
\[
f(x+y)=f(x)+f(y)
\]
ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数
\[
B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)
\]