ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数

ベルヌーイ数は
\begin{align*} & B_{0}=1\\ & B_{1}=\frac{1}{2}\\ & B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)\\ & B_{2n+1}=0 \end{align*}
となる。ただし、\(n\in\mathbb{N}\)とする。

ベルヌーイ数の母関数を展開すると、
\begin{align*} \frac{x}{e^{x}-1} & =\frac{x}{2}\frac{2e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}-e^{\frac{x}{2}}}\\ & =\frac{x}{2}\frac{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}-\left(e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}\right)}{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}\\ & =-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\coth\frac{x}{2}\\ & =-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\left(\frac{2}{x}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{x}{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+k^{2}\pi^{2}}\right)\right)\\ & =1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+k^{2}\pi^{2}}\right)\\ & =1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{2\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{\frac{1}{k^{2}}}{\left(\frac{x}{2k\pi}\right)^{2}+1}\right)\\ & =1-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{2\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\left(\frac{x}{2k\pi}\right)^{2j}\\ & =1-\frac{x}{2}+2\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{2j+2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2j+2}}\\ & =1-\frac{x}{2}+2\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{j}\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{2j+2}\zeta(2j+2)\\ & =1-\frac{x}{2}+2\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m-1}\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{2m}\zeta(2m) \end{align*}
一方、ベルヌーイ数の定義より、
\[ \frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{n!}x^{k} \]
であるので、\(x\)の係数を比較して
\begin{align*} & B_{0}=1\\ & B_{1}=\frac{1}{2}\\ & B_{2n}=(-1)^{n+1}\frac{2(2n)!}{(2\pi)^{2n}}\zeta(2n)\\ & B_{2n+1}=0 \end{align*}
となる。

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ベルヌーイ数とリーマンゼータ関数

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