コーシーの関数方程式と関数方程式の基本
コーシーの関数方程式と関数方程式の基本
\(f\left(x\right)\text{が}\)ある一点で連続であるとき以下が成り立つ。
(1)コーシーの関数方程式
\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=ax \]
(2)
\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=a^{x} \]
(3)
\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=a\log x \]
(4)
\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=x^{a} \]
(1)
\(f\left(x\right)=ax\)のとき\(f\left(1\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=f\left(1\right)x\)となる。
(2)
\(f\left(x\right)=a^{x}\)のとき\(f\left(1\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=f^{x}\left(1\right)\)となる。
(3)
\(f\left(x\right)=a\log x\)のとき\(f\left(e\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=f\left(e\right)\log x\)となる。
(4)
\(f\left(x\right)=x^{a}\)のとき\(f\left(x\right)\)が実関数であれば\(a\)も実数となり\(\log f\left(e\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=x^{\log f\left(e\right)}\)となる。
(1)
\[
f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)
\]
\(x=y=0\)を代入すると\(f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)\)より\(f\left(0\right)=0\)。
点\(a\)で連続とすると、
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right\} & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(\left(x-a\right)+\left(a+h\right)\right)-f\left(\left(x-a\right)+a\right)\right\} \\
& =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(x-a\right)+f\left(a+h\right)-f\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right\} \\
& =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\right\} \\
& =0
\end{align*}
より\(f\left(x\right)\)はすべての点で連続となる。
\(y=-x\)を代入すると\(f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)より奇関数となり、
\begin{align*}
\lim_{h\rightarrow+0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} & =-\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x-h\right)-f\left(x\right)}{h}\cmt{h\rightarrow-h}\\
& =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{-f\left(x\right)-f\left(-h\right)+f\left(x\right)}{h}\\
& =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x\right)+f\left(h\right)-f\left(x\right)}{h}\\
& =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}
\end{align*}
より\(f\left(x\right)\)は微分可能となる。
\begin{align*}
f'\left(x\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\
& =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)+f\left(h\right)-f\left(x\right)}{h}\\
& =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\right)}{h}\\
& =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\
& =f'\left(0\right)
\end{align*}
\(f'\left(0\right)=a\)とおくと\(f'\left(x\right)=a\)より\(f\left(x\right)=ax+c\)
\(f\left(0\right)=0\)より\(c=0\)
これより\(f\left(x\right)=ax\)
(2)
\[
f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)
\]
\(f\left(x\right)=e^{g\left(x\right)}\)とおくと
\begin{align*}
e^{g\left(x+y\right)} & =e^{g\left(x\right)}e^{g\left(y\right)}\\
& =e^{g\left(x\right)+g\left(y\right)}
\end{align*}
これより、
\[
g\left(x+y\right)=g\left(x\right)+g\left(y\right)
\]
これはコーシーの関数方程式なので
\[
g\left(x\right)=bx
\]
となり、
\[
f\left(x\right)=e^{bx}=a^{x}
\]
(3)
\[
f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)
\]
\(f\left(x\right)=g\left(\log x\right)\)とおくと
\[
g\left(\log x+\log y\right)=g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right)
\]
コーシーの関数方程式より
\[
g\left(\log x\right)=a\log x
\]
となり、
\[
f\left(x\right)=a\log x
\]
(4)
\[
f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)
\]
\(f\left(x\right)=e^{g\left(\log x\right)}\)とおくと、
\begin{align*}
e^{g\left(\log x+\log y\right)} & =e^{g\left(\log x\right)}e^{g\left(\log y\right)}\\
& =e^{g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right)}
\end{align*}
これより、
\[
g\left(\log x+\log y\right)=g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right)
\]
コーシーの関数方程式より、
\[
g\left(\log x\right)=a\log x
\]
となり、
\begin{align*}
f\left(x\right) & =e^{a\log x}\\
& =x^{a}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | コーシーの関数方程式と関数方程式の基本 |
URL | https://www.nomuramath.com/g769io2l/ |
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