(1)

\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) \]
\(x=y=0\)を代入すると\(f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)\)より\(f\left(0\right)=0\)。
点\(a\)で連続とすると、
\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right\} & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(\left(x-a\right)+\left(a+h\right)\right)-f\left(\left(x-a\right)+a\right)\right\} \\ & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(x-a\right)+f\left(a+h\right)-f\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right\} \\ & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\right\} \\ & =0 \end{align*}
より\(f\left(x\right)\)はすべての点で連続となる。
\(y=-x\)を代入すると\(f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)より奇関数となり、
\begin{align*} \lim_{h\rightarrow+0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} & =-\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x-h\right)-f\left(x\right)}{h}\cmt{h\rightarrow-h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{-f\left(x\right)-f\left(-h\right)+f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x\right)+f\left(h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \end{align*}
より\(f\left(x\right)\)は微分可能となる。
\begin{align*} f'\left(x\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)+f\left(h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ & =f'\left(0\right) \end{align*}
\(f'\left(0\right)=a\)とおくと\(f'\left(x\right)=a\)より\(f\left(x\right)=ax+c\)
\(f\left(0\right)=0\)より\(c=0\)
これより\(f\left(x\right)=ax\)

(2)

\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) \]
\(f\left(x\right)=e^{g\left(x\right)}\)とおくと
\begin{align*} e^{g\left(x+y\right)} & =e^{g\left(x\right)}e^{g\left(y\right)}\\ & =e^{g\left(x\right)+g\left(y\right)} \end{align*}
これより、
\[ g\left(x+y\right)=g\left(x\right)+g\left(y\right) \]
これはコーシーの関数方程式なので
\[ g\left(x\right)=bx \]
となり、
\[ f\left(x\right)=e^{bx}=a^{x} \]

(3)

\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) \]
\(f\left(x\right)=g\left(\log x\right)\)とおくと
\[ g\left(\log x+\log y\right)=g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right) \]
コーシーの関数方程式より
\[ g\left(\log x\right)=a\log x \]
となり、
\[ f\left(x\right)=a\log x \]

(4)

\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) \]
\(f\left(x\right)=e^{g\left(\log x\right)}\)とおくと、
\begin{align*} e^{g\left(\log x+\log y\right)} & =e^{g\left(\log x\right)}e^{g\left(\log y\right)}\\ & =e^{g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right)} \end{align*}
これより、
\[ g\left(\log x+\log y\right)=g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right) \]
コーシーの関数方程式より、
\[ g\left(\log x\right)=a\log x \]
となり、
\begin{align*} f\left(x\right) & =e^{a\log x}\\ & =x^{a} \end{align*}