コーシーの関数方程式と関数方程式の基本

コーシーの関数方程式と関数方程式の基本

\(f(x)\text{が}\)ある一点で連続であるとき以下が成り立つ。

(1)コーシーの関数方程式

\[ f(x+y)=f(x)+f(y)\rightarrow f(x)=ax \]

(2)

\[ f(x+y)=f(x)f(y)\rightarrow f(x)=a^{x} \]

(3)

\[ f(xy)=f(x)+f(y)\rightarrow f(x)=a\log x \]

(4)

\[ f(xy)=f(x)f(y)\rightarrow f(x)=x^{a} \]

(1)

\[ f(x+y)=f(x)+f(y) \]

\(x=y=0\)を代入すると\(f(0)=f(0)+f(0)\)より\(f(0)=0\)。

点\(a\)で連続とすると、
\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}\left\{ f(x+h)-f(x)\right\} & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left((x-a)+(a+h)\right)-f\left((x-a)+a\right)\right\} \\ & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f(x-a)+f(a+h)-f(x-a)+f(a)\right\} \\ & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f(a+h)-f(a)\right\} \\ & =0 \end{align*}

より\(f(x)\)はすべての点で連続となる。

\(y=-x\)を代入すると\(f(x)=-f(-x)\)より奇関数となり、

\begin{align*} \lim_{h\rightarrow+0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} & =-\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}\qquad,\qquad h\rightarrow-h\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{-f(x)-f(-h)+f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}

より\(f(x)\)は微分可能となる。
\begin{align*} f'(x) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x)+f(h)-f(x)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(h)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\\ & =f'(0) \end{align*}

\(f'(0)=a\)とおくと\(f'(x)=a\)より\(f(x)=ax+c\)

\(f(0)=0\)より\(c=0\)

これより\(f(x)=ax\)

(2)

\[ f(x+y)=f(x)f(y) \]

\(f(x)=e^{g(x)}\)とおくと

\begin{align*} e^{g(x+y)} & =e^{g(x)}e^{g(y)}\\ & =e^{g(x)+g(y)} \end{align*}

これより、

\[ g(x+y)=g(x)+g(y) \]

これはコーシーの関数方程式なので
\[ g(x)=bx \]

となり、

\[ f(x)=e^{bx}=a^{x} \]

(3)

\[ f(xy)=f(x)+f(y) \]

\(f(x)=g(\log x)\)とおくと

\[ g(\log x+\log y)=g(\log x)+g(\log y) \]

コーシーの関数方程式より

\[ g(\log x)=a\log x \]

となり、
\[ f(x)=a\log x \]

(4)

\[ f(xy)=f(x)f(y) \]

\(f(x)=e^{g(\log x)}\)とおくと、
\begin{align*} e^{g(\log x+\log y)} & =e^{g(\log x)}e^{g(\log y)}\\ & =e^{g(\log x)+g(\log y)} \end{align*}

これより、

\[ g(\log x+\log y)=g(\log x)+g(\log y) \]

コーシーの関数方程式より、

\[ g(\log x)=a\log x \]

となり、
\begin{align*} f(x) & =e^{a\log x}\\ & =x^{a} \end{align*}

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タイトル

コーシーの関数方程式と関数方程式の基本

URL

https://www.nomuramath.com/g769io2l/

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