積分問題
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \]
を求めよ。
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx & =\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{1}{n}-1}}{1+y}dy\qquad,\qquad y=x^{n}\\ & =\frac{1}{n}\int_{0}^{1}z^{-\frac{1}{n}}(1-z)^{\frac{1}{n}-1}dz\qquad,\qquad z=\frac{1}{1+y}\\ & =\frac{1}{n}B\left(1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{はベーター関数}\\ & =\frac{1}{n}\varGamma\left(1-\frac{1}{n}\right)\varGamma\left(\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{と}\varGamma\text{との関係}B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\ & =\frac{\pi}{n}\sin^{-1}\frac{\pi}{n}\qquad,\qquad\text{相反公式}\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\sin^{-1}\pi x \end{align*}
ページ情報
タイトル | 積分問題 |
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対数の基本公式
\[
\log M+\log N=\log MN
\]
2重根号
\[
\sqrt{a\pm|b|\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}c}}\right)
\]
対数の指数
\[
a^{\log_{b}c}=c^{\log_{b}a}
\]