積分問題
\(n\in\mathbb{N}\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \] を求めよ。
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx \] を求めよ。
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx & =\frac{1}{n}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{1}{n}-1}}{1+y}dy\qquad,\qquad y=x^{n}\\
& =\frac{1}{n}\int_{0}^{1}z^{-\frac{1}{n}}(1-z)^{\frac{1}{n}-1}dz\qquad,\qquad z=\frac{1}{1+y}\\
& =\frac{1}{n}B\left(1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{はベーター関数}\\
& =\frac{1}{n}\varGamma\left(1-\frac{1}{n}\right)\varGamma\left(\frac{1}{n}\right)\qquad,\qquad B\text{と}\varGamma\text{との関係}B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}\\
& =\frac{\pi}{n}\sin^{-1}\frac{\pi}{n}\qquad,\qquad\text{相反公式}\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\sin^{-1}\pi x
\end{align*}
ページ情報
タイトル | 積分問題 |
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一般化調和数の通常型母関数と調和数の指数型母関数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}H_{k,m}z^{k}=\frac{\Li_{m}(z)}{1-z}
\]
ウォリスの公式
\[
\prod_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(2k)^{2}}{(2k-1)(2k+1)}\right)=\frac{\pi}{2}
\]
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s}}{\cosh^{2}x}dx=\frac{\Gamma(s+1)}{2^{s-1}}\eta(s)
\]
ウォリス積分の値
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2m}\theta d\theta=\frac{C(2m,m)}{4^{m}}\frac{\pi}{2}
\]