整式 2022年3月18日 n乗同士の和と差の因数分解 \[ a^{2n+1}\pm b^{2n+1}=\left(a\pm b\right)\left(\sum_{k=0}^{2n}\left(\mp1\right)^{k}a^{2n-k}b^{k}\right) \]
整式 2022年3月10日 ソフィー・ジェルマンの恒等式 \[ a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right) \]
整式 2022年3月6日 オイラーの4平方恒等式 \[ \left(a_{0}^{\;2}+a_{1}^{\;2}+a_{2}^{\;2}+a_{3}^{\;2}\right)\left(b_{0}^{\;2}+b_{1}^{\;2}+b_{2}^{\;2}+b_{3}^{\;2}\right)=\left(a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{2}-a_{1}b_{3}+a_{2}b_{0}+a_{3}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}\right)^{2} \]
整式 2022年2月28日 ブラーマグプタ2平方恒等式 \[ \left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)=\left(ac\pm bd\right)^{2}+\left(ad\mp bc\right)^{2} \]
整式 2022年2月24日 ビネ・コーシーとラグランジュの恒等式 \[ \left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}c_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}d_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}d_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}b_{j}c_{j}\right)=\sum_{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)\left(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i}\right) \]
整式 2022年2月16日 差積の定義と性質 \[ \Delta\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right):=\prod_{1\leq i<j\leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right) \]
整式 2022年2月12日 複二次式の定義と因数分解 \[ a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}=\frac{1}{4a_{4}}\left(2a_{4}x^{2}+a_{2}+\sqrt{a_{2}^{\;2}-4a_{4}a_{0}}\right)\left(2a_{4}x^{2}+a_{2}-\sqrt{a_{2}^{\;2}-4a_{4}a_{0}}\right) \]
数論 2022年1月20日 n番目の素数の式 \[ P\left(n\right)=1+\sum_{k=1}^{2^{n}}\left\lfloor \sqrt[n]{\frac{n}{\sum_{j=1}^{k}\left\lfloor \cos^{2}\left(\frac{\left(j-1\right)!+1}{j}\pi\right)\right\rfloor }}\right\rfloor \]
解析学 2022年1月17日 ラクランジュの未定乗数法 \[ F\left(x_{1},\cdots,x_{n},\lambda_{1,}\cdots,\lambda_{m}\right)=f\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right)-\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k}g_{k}\left(x_{1},\cdots,x_{n}\right) \]
2項係数 2022年1月2日 中央2項係数を含む通常型母関数 \[ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\} \]
2項係数 2021年12月31日 中央2項係数の通常型母関数 \[ \sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}} \]
ゼータ関数 2021年12月16日 (*)フルヴィッツの公式 \[ \zeta\left(1-s,a\right)=\frac{\Gamma\left(s\right)}{\left(2\pi\right)^{s}}\left\{ e^{-i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{2\pi ia}\right)+e^{i\frac{\pi s}{2}}\Li_{s}\left(e^{-2\pi ia}\right)\right\} \]
ゼータ関数 2021年12月13日 リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値 \[ \zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right) \]
ゼータ関数 2021年12月10日 リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分 \[ \zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz \]
ゼータ関数 2021年12月6日 フルヴィッツ・ゼータ関数の積分表現 \[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\frac{1}{\Gamma\left(s\right)}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{s-1}e^{-\alpha t}}{1-e^{-t}}dt \]
ゼータ関数 2021年12月3日 フルヴィッツ・ゼータ関数の第2引数での微分とテーラー展開 \[ \frac{\partial^{n}}{\partial z^{n}}\zeta\left(s,z\right)=P\left(-s,n\right)\zeta\left(s+n,z\right) \]
ゼータ関数 2021年11月26日 フルヴィッツのゼータ関数の定義 \[ \zeta\left(s,\alpha\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{\left(\alpha+k\right)^{s}} \]
数学その他 2021年11月23日 巾関数の積分表現 \[ \frac{1}{z^{\alpha}}=\frac{1}{\Gamma\left(\alpha\right)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-zt}dt \]