逆・裏・対偶の定義と対偶の法則
逆・裏・対偶の定義
\(P,Q\)を命題変数とする。
(1)
命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(P\leftarrow Q\)を逆という。
(2)
命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\rightarrow\lnot Q\)を裏という。
(3)
命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)を対偶という。
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逆の裏は対偶、裏の逆も対偶となる。
対偶の法則
命題\(P\rightarrow Q\)とその対偶\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)は同値である。
すなわち、
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \]
となる。
\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow Q\lor\lnot P\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot Q\rightarrow\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \end{align*}
ページ情報
タイトル | 逆・裏・対偶の定義と対偶の法則 |
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論理演算の基本
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
否定同値の否定同値は同値の同値
\[
P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R
\]
論理演算子の移項
\[
\left(P\land R\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)
\]
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]