逆・裏・対偶の定義と対偶の法則
逆・裏・対偶の定義と性質
\(P,Q\)を命題変数とする。
定義
性質
すなわち、
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \] となる。
\(P,Q\)を命題変数とする。
定義
(1)
命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(P\leftarrow Q\)を逆という。(2)
命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\rightarrow\lnot Q\)を裏という。(3)
命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)を対偶という。性質
(4)対偶の法則
命題\(P\rightarrow Q\)とその対偶\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)は同値である。すなわち、
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \] となる。
-
逆の裏は対偶、裏の逆も対偶となる。-
\(P\rightarrow Q\)が成り立ちその逆が一般的に成り立たないとき、その対偶の逆も一般的に成り立ちません。何故なら\(P\rightarrow Q\)の逆が一般的に成り立たないとき\(\lnot\left(P\leftarrow Q\right)\Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\rightarrow\lnot Q\right)\Leftrightarrow\lnot P\nrightarrow\lnot Q\)となり、対偶の逆\(\lnot P\rightarrow\lnot Q\)は成り立たないからである。
(4)
\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow Q\lor\lnot P\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot Q\rightarrow\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 逆・裏・対偶の定義と対偶の法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ks7u6knp/ |
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量化記号(全称命題・存在命題)の分配
\[
\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)
\]
論理演算の基本
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
優先順位を変更したものとの包含関係・同値関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftarrow\left(P\lor Q\right)\land R
\]
3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]