逆・裏・対偶の定義と対偶の法則

by · 2022年11月5日

逆・裏・対偶の定義
\(P,Q\)を命題変数とする。

(1)

命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(P\leftarrow Q\)を逆という。

(2)

命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\rightarrow\lnot Q\)を裏という。

(3)

命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)を対偶という。

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逆の裏は対偶、裏の逆も対偶となる。

対偶の法則

命題\(P\rightarrow Q\)とその対偶\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)は同値である。

すなわち、

\[ \left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \]

となる。

\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow Q\lor\lnot P\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot Q\rightarrow\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \end{align*}

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タイトル

逆・裏・対偶の定義と対偶の法則

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論理演算の基本
\[ P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P \]
否定同値の否定同値は同値の同値
\[ P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R \]
論理演算子の移項
\[ \left(P\land R\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \]
2引数が同じ3引数の論理演算子
\[ P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P \]