逆・裏・対偶の定義と対偶の法則

by nomura · 2022年11月5日

逆・裏・対偶の定義と性質
\(P,Q\)を命題変数とする。

定義

(1)

命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(P\leftarrow Q\)を逆という。

(2)

命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\rightarrow\lnot Q\)を裏という。

(3)

命題\(P\rightarrow Q\)に対し、\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)を対偶という。

性質

(4)対偶の法則

命題\(P\rightarrow Q\)とその対偶\(\lnot P\leftarrow\lnot Q\)は同値である。
すなわち、
\[ \left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \] となる。

-

逆の裏は対偶、裏の逆も対偶となる。

-

\(P\rightarrow Q\)が成り立ちその逆が一般的に成り立たないとき、その対偶の逆も一般的に成り立ちません。
何故なら\(P\rightarrow Q\)の逆が一般的に成り立たないとき\(\lnot\left(P\leftarrow Q\right)\Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\rightarrow\lnot Q\right)\Leftrightarrow\lnot P\nrightarrow\lnot Q\)となり、対偶の逆\(\lnot P\rightarrow\lnot Q\)は成り立たないからである。

(4)

\begin{align*} \left(P\rightarrow Q\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor Q\\ & \Leftrightarrow Q\lor\lnot P\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot Q\rightarrow\lnot P\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \end{align*}