関数の極限

関数\(f(x)\)が、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-b|<\epsilon \]
を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=b \]
で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)は\(b\)に収束する」という。

関数\(f(x)\)が
\[ \forall K>0,\exists\delta>0;\forall x,|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)>K \]
を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty \]
で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f(x)\)は正の無限大に発散する」という。<br>
また、
\[ \forall K>0,\exists\delta>0;\forall x,|x-a|<\delta\Rightarrow f(x)<K \]
を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty \]
で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f(x)\)は負の無限大に発散する」という。

関数\(f(x)\)が
\[ \forall\epsilon>0,\exists X>0;\forall x,x>X\Rightarrow|f(x)-b|<\epsilon \]
を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=b \]
で表し「\(x\)が限りなく大きくなるとき\(f(x)\)は\(b\)に収束する」という。
また、
\[ \forall\epsilon>0,\exists X<0;\forall x,x< X\Rightarrow|f(x)-b|<\epsilon \]
を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=b \]
で表し「\(x\)が限りなく小さくなるとき\(f(x)\)は\(b\)に収束する」という。

関数\(f(x)\)が
\[ \forall K>0,\exists X>0;\forall x,x>X\Rightarrow f(x)>K \]
を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty \]
で表し、「xが限りなく大きくなるときf(x)は正の無限大に発散する」という。
同様に
\begin{align*} \cdot　& \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\infty\\ \cdot　& \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=-\infty\\ \cdot　& \lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty \end{align*}
も定義する。