関数の極限の定義
通常の実数で考えるときは関数\(f\)を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)として、拡大実数で考えるときは関数\(f\)を\(f:\overline{\mathbb{R}}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\)とする。
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。
\[ \forall K>0,\exists\delta>0,\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow K\leq\pm f\left(x\right) \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\pm\infty \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f\left(x\right)\)は正(負)の無限大に発散する」という。
\[ \forall\epsilon>0,\exists M>0,\forall x\in\mathbb{R},M\leq\pm x\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が限りなく大きく(小さく)なるとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。
\[ \forall K>0,\exists M>0,\forall x\in\mathbb{R},M\leq\pm_{1}x\Rightarrow K\leq\pm_{2}f\left(x\right) \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\pm_{1}\infty}f\left(x\right)=\pm_{2}\infty \] で表し、「\(x\)が限りなく大きく(小さく)なるとき\(f\left(x\right)\)は正(負)の無限大に発散する」という。
通常の実数で考えるときは関数\(f\)を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)として、拡大実数で考えるときは関数\(f\)を\(f:\overline{\mathbb{R}}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\)とする。
(1)
関数\(f\left(x\right)\)が、\(a,b\in\mathbb{R}\)として\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。
(2)
関数\(f\left(x\right)\)が\(a\in\mathbb{R}\)として\[ \forall K>0,\exists\delta>0,\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow K\leq\pm f\left(x\right) \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\pm\infty \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f\left(x\right)\)は正(負)の無限大に発散する」という。
(3)
関数\(f\left(x\right)\)が\(b\in\mathbb{R}\)として\[ \forall\epsilon>0,\exists M>0,\forall x\in\mathbb{R},M\leq\pm x\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が限りなく大きく(小さく)なるとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。
(4)
関数\(f\left(x\right)\)が\[ \forall K>0,\exists M>0,\forall x\in\mathbb{R},M\leq\pm_{1}x\Rightarrow K\leq\pm_{2}f\left(x\right) \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\pm_{1}\infty}f\left(x\right)=\pm_{2}\infty \] で表し、「\(x\)が限りなく大きく(小さく)なるとき\(f\left(x\right)\)は正(負)の無限大に発散する」という。
(1)
\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき\(x\ne a\)なので\(0<\left|x-a\right|\)となります。(2)
通常の実数では関数\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\)があり、\(x_{0}\in\overline{\mathbb{R}}\)として、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)\in\mathbb{R}\)となるとき、\(x_{0}\)で収束するや\(x_{0}\)での極限値が存在するといい、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)\notin\mathbb{R}\)となるとき発散するという。発散するときは、極限値が\(\pm\infty\)になるときとそれ以外の振動するときに分けることができます。
また、\(x_{0}\in\mathbb{R}\)として\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)\in\mathbb{R}\)となるとき\(x_{0}\)で連続であるという。
拡大実数では関数\(f:\overline{\mathbb{R}}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}\)があり、\(x_{0}\in\overline{\mathbb{R}}\)として、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)\in\overline{\mathbb{R}}\)となるとき、\(x_{0}\)で収束するや\(x_{0}\)での極限値が存在するといい、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)\notin\overline{\mathbb{R}}\)となるとき振動するという。
また、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)\in\overline{\mathbb{R}}\)となるとき\(x_{0}\)で連続であるという。
ページ情報
| タイトル | 関数の極限の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wtfyx7ul/ |
| SNSボタン |
数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
合成関数の導関数・偏導関数
\[
\frac{df}{dt}=\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{k}}\frac{dx_{k}}{dt}
\]
偏微分の順序交換(シュワルツの定理)
\[
\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f\left(x,y\right)}{\partial y\partial x}
\]
C1級・全微分可能・偏微分可能・連続の関係
\[
C^{1}\text{級}\Rightarrow\text{全微分可能}\Rightarrow\text{偏微分可能}
\]