(1)

関数\(f\left(x\right)\)が、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。

(2)

関数\(f\left(x\right)\)が
\[ \forall K>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow f\left(x\right)>K \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=\infty \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f\left(x\right)\)は正の無限大に発散する」という。
また、
\[ \forall K>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow f\left(x\right)<K \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=-\infty \] で表し「\(x\)が\(a\)に限りなく近づくとき関数\(f\left(x\right)\)は負の無限大に発散する」という。

(3)

関数\(f\left(x\right)\)が
\[ \forall\epsilon>0,\exists X>0;\forall x,X<x\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が限りなく大きくなるとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。
また、
\[ \forall\epsilon>0,\exists X<0;\forall x,x<X\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=b \] で表し「\(x\)が限りなく小さくなるとき\(f\left(x\right)\)は\(b\)に収束する」という。

(4)

関数\(f\left(x\right)\)が
\[ \forall K>0,\exists X>0;\forall x,x>X\Rightarrow f\left(x\right)>K \] を満たすとき
\[ \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\infty \] で表し、「\(x\)が限りなく大きくなるとき\(f\left(x\right)\)は正の無限大に発散する」という。
同様に
\[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty \] \[ \lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty \] も定義する。