離散距離は距離空間
\[
d_{\delta}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
0 & \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\\
1 & \boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{y}
\end{cases}
\]
パリ距離は距離空間
\[
d\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{cases}
\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right| & \exists c\in\mathbb{R},\boldsymbol{y}=c\boldsymbol{x}\\
\left|\boldsymbol{x}\right|+\left|\boldsymbol{y}\right| & other
\end{cases}
\]
マンハッタン距離は距離空間
\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]
ユークリッド距離は距離空間
\[
d_{2}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|
\]
距離空間と位相空間の関係
距離空間の開集合族は位相空間
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]
距離空間でε-近傍は開集合
\[
\forall U_{\epsilon}\left(a\right)\subseteq X,\forall a_{0}\in U_{\epsilon}\left(a\right),\exists\epsilon_{0}>0,U_{\epsilon_{0}}\left(a_{0}\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(a\right)
\]
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[
U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\}
\]
距離空間の定義
\[
d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)
\]
簡単な2次式の素数問題
\[
n^{2}-6n+8\text{が素数のなる}n
\]
無限に掛けるとどうなる？
\[
2^{\frac{1}{4}}4^{\frac{1}{8}}8^{\frac{1}{16}}\cdots=?
\]
5次式の因数分解
\[
x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\text{を因数分解せよ}
\]
3点を通る円
\[
\det\left(\begin{array}{cccc}
x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right)=0
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
1から5までの個数問題
この文章には
1が？個
2が？個
3が？個
4が？個
5が？個
あります。
1から4までの個数問題
この文章には
1が？個
2が？個
3が？個
4が？個
あります。
モンティ・ホール問題・改
3つのドアからどれを選ぶ？
総乗の極限問題
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=?
\]
[python]リスト内包表記
print([i**2 for i in range(5)]) #[0, 1, 4, 9, 16][python]if文を1行で書く3項演算子
print("true" if 3==0 else "false") #false[python]集合型同士の和集合・積集合・差集合・対称差集合
print({'a','b'}|{'b','c'}) #{'c', 'a', 'b'}[python]集合同士の比較と部分集合・真部分集合と互いに素かを調べる
print({0,1,2}>={1,2}) #True