積の交換子の性質
\[
\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}
\]
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\[
\left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B
\]
交換子の基本的性質(交換関係)
\[
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
\]
エルミートと交換子・反交換子
\[
A=A^{*}\land B=B^{*}\rightarrow\left[A,B\right]^{*}=-\left[A,B\right]
\]
交換子・反交換子と指数関数の定義
\[
\left[\hat{A},\hat{B}\right]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}
\]
項別積分と項別微分
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx
\]
極限と積分・微分の順序変更
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx
\]
各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[
\text{一様収束}\Rightarrow\text{各点収束}
\]
一様コーシー列・一様収束列の定義と性質
\[
\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon
\]
各点収束と一様収束と広義一様収束の定義
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{x\in I}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=0
\]
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]
分母に正接がある関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}dx=?
\]
分母に総和がある数の総和
\[
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?
\]
分母分子に3角関数を含む定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{\left(\sin x+\cos x\right)^{2}}dx=?
\]
3乗根の有理化
\[
\frac{1}{2\cdot3^{\frac{2}{3}}+3\cdot3^{\frac{1}{3}}+2}\text{の有理化}
\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma
\]
そのままだとΓ(0)になる積分
\[
\int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma
\]