カテゴリー: 集合論
可算集合と無限集合の濃度
無限濃度で最小の濃度は可算集合の濃度である。
有向集合と有向点列の定義
\[
\forall a,b\in\Lambda,\exists c\in\Lambda,a\preceq c\land b\preceq c
\]
写像の標準分解
\[
f:X\stackrel{f'}{\longrightarrow}X/R_{f}\stackrel{g}{\longrightarrow}\ran\left(f\right)\stackrel{I_{g}}{\longrightarrow}Y
\]
集合族の和集合・積集合の性質
\[
\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A}
\]
整除関係と大小関係
\[
\forall a,b\in\mathbb{N},a\mid b\rightarrow a\leq b
\]
整除関係の性質
\[
a\mid b\land b\mid a\leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|
\]
整除関係の基本的な値
\[
\forall a\in\mathbb{Z},\pm1\mid a
\]
整徐関係の定義
\[
\exists n\in\mathbb{Z},a=bn\rightarrow b\mid a
\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
ツォルンの補題
帰納的順序集合$\left(X,\preceq\right)$は極大元をもつ。
集合族の有限性・鎖・帰納的順序集合の定義
\[
A\in\mathcal{A}\Leftrightarrow\forall B\subseteq A,\left|B\right|<\infty\rightarrow B\in\mathcal{A}
\]
超限帰納法
\[
P\left(\min X\right)\land\forall x\in X,\left(\forall a\prec x,P\left(a\right)\right)\rightarrow P\left(x\right)\Rightarrow\forall x\in X,P\left(x\right)
\]
選択関数と選択公理の定義
\[
\forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset
\]
整列可能定理
任意の集合は適当な順序を定めることによって整列集合にできる。
整列集合の基本的な性質
\[
X\left\langle \min X\right\rangle =\emptyset
\]
切片の定義
\[
X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
\]
順序写像かつ単射の性質
\[
\forall a,b\in X,a\precneqq b\rightarrow f\left(a\right)\precneqq\left(b\right)
\]
デデキント切断の定義
\[
a\in A\land b\in B\rightarrow a\preceq b
\]
半順序集合・狭義半順序集合の辞書式順序
\[
\left(x_{1},y_{1}\right)\preceq\left(x_{2},y_{2}\right)\Leftrightarrow x_{1}\prec_{X}x_{2}\lor\left(x_{1}=x_{2}\land y_{1}\preceq_{Y}y_{2}\right)
\]
半順序関係と狭義半順序関係
\[
x\prec y\Leftrightarrow x\preceq y\land x\ne y
\]
上方集合と下方集合の定義
\[
\forall x\in A,\forall y\in X,x\preceq y\rightarrow y\in A
\]
部分順序集合
\[
b_{1}\preceq_{A}b_{2}\Leftrightarrow b_{1}\preceq_{B}b_{2}
\]
2つの集合上の二項関係(一意性・全域性)の定義
\[
aRc\land bRc\Rightarrow a=b
\]