位相空間での閉集合系による位相
\[
F_{1},\cdots,F_{n}\in\mathcal{F}\rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}F_{k}\in\mathcal{F}
\]
位相空間での位相と開集合閉集合の定義
\[
\forall\mathcal{A}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{A\in\mathcal{A}}A\in\mathcal{O}
\]
距離空間での収束の定義と開集合による別定義
\[
\exists a\in X,\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(a_{n},a\right)<\epsilon
\]
点と集合との距離の関係
\[
d\left(x,A\right)=0\Leftrightarrow x\in A^{a}
\]
集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]
点と集合との距離と集合同士の距離の定義
\[
d\left(A,B\right):=\inf\left\{ d\left(a,b\right);a\in A,b\in B\right\}
\]
ルベーグの被覆補題
\[
\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U
\]
開球同士が交わるときの包含関係
\[
B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)
\]
収束列と閉集合・閉包・稠密との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
コーシー列と部分列の収束
コーシー列と部分列の収束
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の像は完備部分集合とは限らない
完備距離空間の部分集合は完備とは限らない
完備距離空間$\left(X,d_{X}\right)$の部分集合$A\subseteq X$は完備とは限らない。
有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分
有界閉区間上の連続関数はリーマン可積分である。
有界閉区間上でのハイネ・カントールの定理
有界閉区間上で関数が連続ならば一様連続である。
一様連続であれば各点連続
一様連続であれば各点連続である。
距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
部分距離空間・直積距離空間の定義
\[
d\left(P,Q\right)^{2}:=\sum_{k=1}^{n}d_{k}\left(p_{k},q_{k}\right)^{2}
\]
連続と開集合の逆像が開集合は同値
連続と開集合の逆像が開集合は同値
距離空間での各点連続と一様連続の定義
\[
\forall x_{1}\in X,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x_{2}\in X;d_{X}\left(x_{1},x_{2}\right)<\delta\rightarrow d_{Y}\left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right)\right)<\epsilon
\]