カントール集合の数式表示

閉区間\(\left[0,1\right]\)の線分を\(3\)等分して真ん中の区間を開区間として取り除くという操作を\(n\)回繰り返したときの残りの線分を\(C_{n}\)として、\(C_{n-1}\)回目から\(C_{n}\)回目に取り除けばいい線分を\(D_{n}\)とする。
\(D_{n}\)は既に取り除かれている成分については除外しなくてもいいので、実際に取り除く線分より多くてもいい。
\(D_{n}\)は、
\begin{align*} D_{n} & =\bigcup_{0<3k+1<3^{n}}\frac{1}{3^{n}}\left(3k+1,3k+2\right)\\ & =\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-\frac{1}{3}}\frac{1}{3^{n}}\left(3k+1,3k+2\right)\\ & =\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right) \end{align*}
となるので、\(C_{n}\)は、
\begin{align*} C_{n} & =C_{n-1}\setminus D_{n}\\ & =C_{n-1}\cap D_{n}^{c}\\ & =C_{n-2}\cap D_{n-1}^{c}\cap D_{n}^{c}\\ & =C_{0}\cap\bigcap_{j=1}^{n}D_{j}^{c}\\ & =C_{0}\cap\left(\bigcup_{j=1}^{n}D_{j}\right)^{c}\\ & =C_{0}\setminus\bigcup_{j=1}^{n}D_{j}\\ & =\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{n}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right) \end{align*}
となる。
これより
\[ C=C_{\infty}=\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right) \]
となる。