(1)

\(A\)の上界全体の集合を\(B\)とする。
このとき、任意の\(B\)の元は任意の\(B^{c}\)の元より大きく、\(\mathbb{R}=B\cup B^{c},B\ne\emptyset,B^{c}\ne\emptyset,\forall b\in B,\forall a\in B^{c},a<b\)となるので、デテキント切断となる。
デテキント切断となるので、ある点\(x\)は\(B\)で最小の数か\(B^{c}\)の最大の数かのどちらかになる。
\(x\)が\(B^{c}\)の最大の数と仮定する。
そうすると、\(x\)は上界ではない点なので\(x\)より大きい\(B^{c}\)の点\(y>x\)が存在する。
そうすると、\(x\)は\(B^{c}\)の最大の数とした仮定に矛盾。
従って、背理法より点\(x\)は\(B\)で最小の数、すなわち上界全体の最小の数となる。
次に、この\(B\)の最小元\(x\in B\)が\(A\)の上限になっていることを示す。
\(x\)は\(A\)の上界全体の集合\(B\)の最小元なので、任意の\(a\in A\)ついて\(a\leq x\)となる。
ここで、ある\(\epsilon>0\)が存在し、任意の\(a\in A\)について、\(a\leq x-\epsilon\)となると仮定する。
そうすると、\(x-\epsilon\)は\(A\)の上界となるので\(A\)の上界全体の集合\(B\)の元\(x-\epsilon\in B\)となる。
しかし\(\epsilon>0\)より\(x-\epsilon<x\)であり、\(x-\epsilon\in B\)でもあるので、\(x\)が\(B\)の最小元であることに矛盾する。
従って背理法より、任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(a\in A\)が存在し、\(x-\epsilon<a\)となる。
これより、\(x\)は\(A\)の上界であり、任意の\(\epsilon>0\)について、ある\(a\in A\)が存在し\(x-\epsilon<a\)となるので、\(x\)は\(A\)の上限\(\sup A=x\)となる。
故に題意は成り立つ。

(1)-2

\(A\)の上界全体の集合を\(B\)とする。
\(B\)は空集合ではないので、任意の\(a_{1}\in A,b_{1}\in B\)をとり、
\[ c_{1}=\frac{a_{1}+b_{1}}{2} \] とする。
ここで、\(a_{2},b_{2}\)を
\[ \begin{cases} a_{2}=a_{1},b_{2}=c_{1} & c_{1}\in B\\ a_{2}=c_{1},b_{2}=b_{1} & c_{1}\notin B \end{cases} \] として、以下同様に\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)を決める。
そうすると、
\[ a_{1}\leq a_{2}\leq\cdots\leq a_{n}<b_{n}\leq\cdots\leq b_{2}\leq b_{1} \] となり、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)はコーシー列となり実数の完備性より収束する。
また、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_{1}-a_{1}}{2^{n-1}}=0 \] となるので、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(b_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の極限値も等しくなるのでその極限値を\(\alpha\)とおく。
\(b_{n}\)は常に\(b_{n}\in B\)なので任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq b_{n}\)となるので\(x\leq\alpha\)となる。
これより、\(\alpha\in B\)となる。
また任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(\alpha-\epsilon<a_{n}<\alpha\)となる\(a_{n}\)が存在するが、\(a_{n}\)は常に\(a_{n}\notin B\)なので\(\alpha-\epsilon\notin B\)となる。
これより、\(\alpha\)は\(B\)の最小値となる。
故に\(\alpha\in B\)であり\(\alpha=\min B\)なので\(\alpha\)は\(A\)の上限となる。

(2)

(1)と同様にする。