ワイエルシュトラスの定理(公理)
ワイエルシュトラスの定理(公理)
実数全体\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が下に有界ならば下限が存在する。
同様に実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が上に有界ならば上限が存在する。
実数全体\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が下に有界ならば下限が存在する。
同様に実数\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\subseteq\mathbb{R}\)が上に有界ならば上限が存在する。
実数全体\(\mathbb{R}\)でない場合は成り立つとは限りません。
例えば全体集合を有理数全体\(\mathbb{Q}\)として\(\left\{ q\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<q\right\} \)の集合には下に有界であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)なので下限が存在しません。
例えば全体集合を有理数全体\(\mathbb{Q}\)として\(\left\{ q\in\mathbb{Q};\sqrt{2}<q\right\} \)の集合には下に有界であるが\(\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}\)なので下限が存在しません。
実数全体の部分集合\(\left[0,1\right]\)は下に有界なので下限\(\inf\left[0,1\right]=0\)が存在する。
実数全体の部分集合\(\left(0,1\right)\)は下に有界なので下限\(\inf\left(0,1\right)=0\)が存在する。
実数全体の部分集合\(\left(0,1\right)\)は下に有界なので下限\(\inf\left(0,1\right)=0\)が存在する。
下界全体の集合を\(B\)とする。
このとき、任意の\(B\)の元は任意の\(B^{c}\)の元より小さく、\(\mathbb{R}=B\cup B^{c},B\ne\emptyset,B^{c}\ne\emptyset,\forall a\in B,\forall b\in B^{c},a<b\)となるので、デテキント切断となる。
デテキント切断となるので、ある点\(x\)は\(B\)で最大の数か\(B^{c}\)の最小の数かのどちらかになる。
\(x\)が\(B^{c}\)の最小の数と仮定する。
そうすると、\(x\)は下界ではない点なので\(x\)より小さい\(B^{c}\)の点\(y<x\)が存在する。
そうすると、\(x\)は\(B^{c}\)の最小の数とした仮定に矛盾。
従って、点\(x\)は\(B\)で最大の数、すなわち下界全体の最大の数となり、点\(x\)は下限となる。
故に題意は成り立つ。
このとき、任意の\(B\)の元は任意の\(B^{c}\)の元より小さく、\(\mathbb{R}=B\cup B^{c},B\ne\emptyset,B^{c}\ne\emptyset,\forall a\in B,\forall b\in B^{c},a<b\)となるので、デテキント切断となる。
デテキント切断となるので、ある点\(x\)は\(B\)で最大の数か\(B^{c}\)の最小の数かのどちらかになる。
\(x\)が\(B^{c}\)の最小の数と仮定する。
そうすると、\(x\)は下界ではない点なので\(x\)より小さい\(B^{c}\)の点\(y<x\)が存在する。
そうすると、\(x\)は\(B^{c}\)の最小の数とした仮定に矛盾。
従って、点\(x\)は\(B\)で最大の数、すなわち下界全体の最大の数となり、点\(x\)は下限となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
タイトル | ワイエルシュトラスの定理(公理) |
URL | https://www.nomuramath.com/wckxjz2g/ |
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項別積分と項別微分
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx
\]
上限・下限と上極限・下極限の積の大小関係
\[
\left(\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\right)\left(\inf_{n\in\mathbb{N}}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)
\]
数列が収束するならば有界
収束列・コーシー列・完備・完備化の定義
\[
\lim_{n,m\rightarrow\infty}d\left(a_{m},a_{n}\right)=0
\]