第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
(1)
\[ \frac{\partial\gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=x^{a-1}e^{-x} \]
(2)
\[ \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x} \]
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\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数
(1)
\begin{align*} \frac{\partial\gamma\left(a,x\right)}{\partial x} & =\frac{\partial}{\partial x}\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =x^{a-1}e^{-x} \end{align*}
(2)
\begin{align*} \frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x} & =\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =-x^{a-1}e^{-x} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分 |
URL | https://www.nomuramath.com/zr12kgtz/ |
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偶数と奇数の2重階乗
\[
\left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示とテイラー展開
\[
\psi(z) =-\gamma-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k+1}\right)
\]