リーマン・ゼータ関数の定義
\[
\zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}}
\]
カテゴリー: 数学
フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理
\[
n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right)
\]
総和・総乗・積分の順序反転逆演算
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=-\sum_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right)
\]
数列・関数の和・積・商・スカラー倍の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab
\]
調和数の相反公式
\[
H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}
\]
調和数の2項係数展開
\[
H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right)
\]
調和数・一般化調和数の乗法公式
\[
H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m}
\]
ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式
\[
\psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[
\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)
\]
調和数・一般化調和数の積分
\[
\int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C
\]
一般化調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)
\]
調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2}}=2-2\log2
\]
調和数と一般化調和数の拡張
\[
H_{z,m}=\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,z+1\right)
\]
調和数・一般化調和数を含む総和
\[
\sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1}
\]
調和数・一般化調和数の定義
\[
H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}}
\]
集合族の和集合・積集合の性質
\[
\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A}
\]
[2021年福島大学・前期]因数分解
$\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-7\right)\left(x-9\right)-9$を因数分解せよ。
[2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式
\[
f\left(x\right)=1+\int_{0}^{x}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt,f\left(x\right)=?
\]
2の34乗と5の14乗の大小関係
\[
2^{34}\lesseqgtr5^{14}
\]
ベータ関数の逆数を含む総和
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=?
\]
逆3角関数の積の積分
\[
\int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=?
\]
[2005年京都大学文系・数学第4問]3乗同士の差の整数問題
\[
a^{3}-b^{3}=65,\left(a,b\right)=?
\]
2項係数の2重和の問題
\[
\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\sum_{j=k}^{n}C\left(n+1,j+1\right)=?
\]
[2023年東工大数学第1問]積分の整数部分
\[
\left\lfloor \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx\right\rfloor =?
\]
基本的な関数のフーリエ変換
\[
\mathcal{F}_{1,x}\left[x^{n}\right]\left(\xi\right)=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n}\delta^{\left(n\right)}\left(\xi\right)
\]
ヘヴィサイド関数と符号
\[
H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)
\]
矩形関数の性質
\[
\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)
\]
3角形関数の性質
\[
\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)
\]
のこぎり波の定義
\[
f\left(x\right):=x
\]
矩形波の定義
\[
f\left(x\right):=\begin{cases}
-1 & x<0\\
0 & x=0\\
1 & 0<x
\end{cases}
\]