調和数の相反公式
調和数の相反公式
調和数\(H_{z}\)について次の相反公式が成り立つ。
\(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}\)とする。
\[ H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z} \]
調和数\(H_{z}\)について次の相反公式が成り立つ。
\(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}\)とする。
\[ H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z} \]
\begin{align*}
H_{1-z}-H_{z} & =-\gamma+\psi\left(2-z\right)-\left(-\gamma+\psi\left(1+z\right)\right)\\
& =\psi\left(2-z\right)-\psi\left(1+z\right)\\
& =\psi\left(1-z\right)+\frac{1}{1-z}-\psi\left(z\right)-\frac{1}{z}\\
& =\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 調和数の相反公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/y925ewyd/ |
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調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開
\[
\frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right)
\]
調和数と一般化調和数の拡張
\[
H_{z,m}=\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,z+1\right)
\]
調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2}}=2-2\log2
\]
一般化調和数の特殊値
\[
H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right)
\]