ガンマ関数を2つ含む定積分でカタラン定数が出てきます
\[
\int_{0}^{\frac{1}{2}}\Gamma\left(1-x\right)\Gamma\left(1+x\right)dx=?
\]
カテゴリー: 問題
複素ガンマ関数2つを含む広義積分
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma\left(1-ix\right)\Gamma\left(1+ix\right)dx=?
\]
2項係数の3の倍数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right)=?
\]
係数が何の値か気付けるかな
\[
x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16},\frac{1}{x^{5}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{5}{x}+1=?
\]
展開はしないほうがいいです
\[
\left(x+y\right)^{2}\left(xy-1\right)+1\text{を因数分解}
\]
まずは分母から処理しましょう
\[
\frac{2^{11}+3^{8}+6^{5}}{2^{5}+2^{8}+3^{6}}=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]
分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
簡単に見えますが厳密に解くのは手間がかかります
\[
a=\frac{bx}{x-c},x=?
\]
答えを求めるだけなら簡単
\[
\sqrt{x^{2}-9}=x-2,x=?
\]
根号の中に根号がある整数問題
\[
\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\in\mathbb{N},n=?
\]
2乗同士の差が素数のときその差はいくつになる？
$m^{2}-n^{2}$が素数のとき、$m-n$は？
xのx乗がxになる方程式
\[
x^{x}=x,x=?
\]
3連続数字の積に１を足した根号
\[
\sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=?
\]
気付かないと解けないかも
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\left(1+x\right)\left(a^{2}+\log^{2}x\right)}dx=?
\]
aのa乗にして解く問題
\[
27^{x}x=1,x=?
\]
2人の曜日と性別問題
子供が2人いて少なくとも1人は日曜日に生まれた男の子のとき、2人共男の子の確率は？
2枚のコインの裏表問題
2枚のコインを投げて少なくとも1枚が表のとき両方が表の確率は？
3次式の5乗を2次式で割った余り
$\left(x^{3}+x^{2}+x+1\right)^{5}$を$x^{2}-x+1$で割った余りは？
πとγがでてくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(x\right)}{x}dx=?
\]
毒入りワイン
毒入りワインを特定するのに何人が必要？
ルートiが無限に続くといくつになる？
\[
\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?
\]
逆3角関数の積の方程式
\[
\Sin^{\bullet}x\Cos^{\bullet}x=\frac{\pi^{2}}{18},x=?
\]
2番目に大きい数字
2番目に大きい数字を選んだ人が勝つゲームはどうなる？
sinとcosの5乗が1になる方程式
\[
\sin^{5}x+\cos^{5}x=1,x=?
\]
γとπが出てくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}e^{-x}\log^{2}\left(x\right)dx=?
\]
分子が対数で分母が多項式の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{x^{n}+1}dx=?
\]
積み木の積み上げ問題
積み木を積み重ねると最大でどれだけずらせることが出来るのか？
4枚カード問題(ウェイソン選択課題)
仮説を検証するにはどのカードの裏面を確認する必要があるか？