係数が何の値か気付けるかな
係数が何の値か気付けるかな
\[ x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16} \] のとき、
\[ \frac{1}{x^{5}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{5}{x}+1 \] の値を求めよ。
\[ x=1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16} \] のとき、
\[ \frac{1}{x^{5}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{5}{x}+1 \] の値を求めよ。
\(1,5,10,10,5,1\)は\(C\left(5,0\right),C\left(5,1\right),C\left(5,2\right),C\left(5,3\right),C\left(5,4\right),C\left(5,5\right)\)です。
\begin{align*}
\frac{1}{x^{5}}+\frac{5}{x^{4}}+\frac{10}{x^{3}}+\frac{10}{x^{2}}+\frac{5}{x}+1 & =C\left(5,5\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{5}+C\left(5,4\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{4}+C\left(5,3\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{3}+C\left(5,2\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{2}+C\left(5,1\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{1}+C\left(5,0\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{0}\\
& =\left(1+\frac{1}{x}\right)^{5}\\
& =\left(1+\frac{1}{1+\sqrt[5]{2}+\sqrt[5]{4}+\sqrt[5]{8}+\sqrt[5]{16}}\right)^{5}\\
& =\left(1+\frac{1}{1+2^{\frac{1}{5}}+2^{\frac{2}{5}}+2^{\frac{3}{5}}+2^{\frac{4}{5}}}\right)^{5}\\
& =\left(1+\frac{1-2^{\frac{1}{5}}}{1-2^{\frac{5}{5}}}\right)^{5}\\
& =\left(1-\left(1-2^{\frac{1}{5}}\right)\right)^{5}\\
& =\left(2^{\frac{1}{5}}\right)^{5}\\
& =2
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 係数が何の値か気付けるかな |
| URL | https://www.nomuramath.com/r7oysggf/ |
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3連続数字の積に１を足した根号
\[
\sqrt{55\cdot56\cdot57+1}=?
\]
まずは分母から処理しましょう
\[
\frac{2^{11}+3^{8}+6^{5}}{2^{5}+2^{8}+3^{6}}=?
\]
ルートiが無限に続くといくつになる？
\[
\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{\cdots}}}}=?
\]
無限に続くルート問題
\[
\sqrt{2\sqrt{4\sqrt{8\sqrt{16\cdots}}}}=?
\]