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論理+数式

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クロネッカーのデルタ

2025年6月2日

クロネッカーのデルタを含む総和

\[ \sum_{j=0}^{n}\delta_{kj}=1-\sum_{j=0}^{k-1}\delta_{nj} \]

ゼータ関数

2025年5月30日

リーマン・ゼータ関数の等式(解析接続)

\[ \zeta\left(s\right)=1+\sum_{j=0}^{\infty}C\left(-s,j\right)\zeta\left(s+j\right) \]

ゼータ関数

2025年5月29日

リーマン・ゼータ関数の解析接続による非負整数値

\[ \zeta\left(-n\right)=\left(-1\right)^{n}\frac{B_{n+1}}{n+1} \]

ゼータ関数

2025年5月28日

リーマン・ゼータ関数の微分の極限

\[ \lim_{x\rightarrow0}x^{n+1}\zeta^{\left(n\right)}\left(1\pm x\right)=\pm\left(-1\right)^{n}n! \]

ゼータ関数

2025年5月27日

リーマン・ゼータ関数の定義

\[ \zeta\left(s\right):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{s}} \]

ゼータ関数

2025年5月26日

フルヴィッツ・ゼータ関数の乗法定理

\[ n^{s}\zeta\left(s,nz\right)=\sum_{k=0}^{n-1}\zeta\left(s,z+\frac{k}{n}\right) \]

総和・総乗

2025年5月24日

総和・総乗・積分の順序反転逆演算

\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=-\sum_{k=b+1}^{a-1}f\left(k\right) \]

解析学

2025年5月23日

数列・関数の和・積・商・スカラー倍の極限

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=ab \]

調和数・一般化調和数

2025年5月22日

調和数の相反公式

\[ H_{1-z}-H_{z}=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)+\frac{1}{1-z}-\frac{1}{z} \]

調和数・一般化調和数

2025年5月21日

調和数の2項係数展開

\[ H_{z}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k-1}\frac{1}{k}C\left(z,k\right) \]

調和数・一般化調和数

2025年5月20日

調和数・一般化調和数の乗法公式

\[ H_{nz,m}=\frac{n^{m-1}-1}{n^{m-1}}\zeta\left(m\right)+\frac{1}{n^{m}}\sum_{k=0}^{n-1}H_{z+\frac{k}{n},m} \]

ガンマ関数

2025年5月19日

ポリガンマ(ディガンマ)関数の乗法公式

\[ \psi^{\left(m\right)}\left(nz\right)=\delta_{0,m}\log n+\frac{1}{n^{m+1}}\sum_{k=0}^{n-1}\psi^{\left(m\right)}\left(z+\frac{k}{n}\right) \]

調和数・一般化調和数

2025年5月16日

調和数・一般化調和数のn回微分とテーラー展開

\[ \frac{d^{n}H_{z,\alpha}}{dz^{n}}=\zeta\left(\alpha\right)\delta_{0n}+\left(-1\right)^{n+1}Q\left(\alpha,n\right)\left(\zeta\left(\alpha+n\right)-H_{z,\alpha+n}\right) \]

調和数・一般化調和数

2025年5月15日

調和数・一般化調和数の積分

\[ \int H_{z}dz=\log\Gamma\left(z+1\right)+\gamma z+C \]

調和数・一般化調和数

2025年5月14日

一般化調和数の特殊値

\[ H_{\frac{1}{2},z}=2^{z}-\left(2^{z}-2\right)\zeta\left(z\right) \]

調和数・一般化調和数

2025年5月13日

調和数の特殊値

\[ H_{\frac{1}{2}}=2-2\log2 \]

調和数・一般化調和数

2025年5月12日

調和数と一般化調和数の拡張

\[ H_{z,m}=\zeta\left(m\right)-\zeta\left(m,z+1\right) \]

調和数・一般化調和数

2025年5月9日

調和数・一般化調和数を含む総和

\[ \sum_{k=1}^{n}H_{k,m}=\left(n+1\right)H_{n,m}-H_{n,m-1} \]

調和数・一般化調和数

2025年5月8日

調和数・一般化調和数の定義

\[ H_{n,m}:=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{m}} \]

集合演算

2025年5月7日

集合族の和集合・積集合の性質

\[ \forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A} \]

大学入試問題

2025年5月6日

[2021年福島大学・前期]因数分解

$\left(x-3\right)\left(x-5\right)\left(x-7\right)\left(x-9\right)-9$を因数分解せよ。

大学入試問題

2025年5月3日

[2023年滋賀医科大学・数学第4問]関数方程式

\[ f\left(x\right)=1+\int_{0}^{x}e^{t}\left(1+t\right)f\left(t\right)dt,f\left(x\right)=? \]

数学その他問題

2025年5月2日

2の34乗と5の14乗の大小関係

\[ 2^{34}\lesseqgtr5^{14} \]

総和総乗問題

2025年5月1日

ベータ関数の逆数を含む総和

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=? \]

積分問題

2025年4月30日

逆3角関数の積の積分

\[ \int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=? \]

大学入試問題

2025年4月29日

[2005年京都大学文系・数学第4問]3乗同士の差の整数問題

\[ a^{3}-b^{3}=65,\left(a,b\right)=? \]

総和総乗問題

2025年4月28日

2項係数の2重和の問題

\[ \sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\sum_{j=k}^{n}C\left(n+1,j+1\right)=? \]

大学入試問題

2025年4月27日

[2023年東工大数学第1問]積分の整数部分

\[ \left\lfloor \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx\right\rfloor =? \]

フーリエ変換

2025年4月25日

基本的な関数のフーリエ変換

\[ \mathcal{F}_{1,x}\left[x^{n}\right]\left(\xi\right)=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n}\delta^{\left(n\right)}\left(\xi\right) \]

ヘヴィサイドの階段関数

2025年4月24日

ヘヴィサイド関数と符号

\[ H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right) \]
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