極限が符号関数になる関数
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\tanh\left(kx\right)=\sgn\left(x\right)
\]
符号関数の微分と積分
\[
\frac{d\sgn\left(x\right)}{dx}=2\delta\left(x\right)
\]
符号関数の符号関数
\[
\sgn\left(\sgn^{b}\left(\alpha\right)\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
符号関数とクロネッカーのデルタの関係(逆クロネッカーのデルタ)
\[
\left|\sgn\alpha\right|=1-\delta_{0,\alpha}
\]
冪乗の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha^{b}\right)=\sgn^{b}\left(\alpha\right)
\]
積の符号関数
\[
\sgn\left(\alpha\beta\right)=\sgn\left(\alpha\right)\sgn\left(\beta\right)
\]
符号関数の定義
\[
\sgn\left(z\right)=\begin{cases}
\frac{z}{\left|z\right|} & z\ne0\\
0 & z=0
\end{cases}
\]
剰余の剰余
\[
\mod\left(\mod\left(\alpha,n\beta\right),\beta\right)=\mod\left(\alpha,\beta\right)
\]
整数を含む床関数と天井関数
\[
\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor +\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil =n
\]
天井関数と床関数の和と差
\[
\left\lceil z\right\rceil -\left\lfloor z\right\rfloor =\left|\sgn\mod\left(\Re z,1\right)\right|+i\left|\sgn\mod\left(\Im z,1\right)\right|
\]