ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[
2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}
\]
ハイパー演算子の優先順位
\[
I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a
\]
ハイパー演算子の結合法則
\[
a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c
\]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]
ハイバー演算子の基本的な値
\[
H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases}
a+1 & n=0\\
a & n=1\\
0 & n=2\\
\delta_{0a} & n=3\\
\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots
\end{cases}
\]
ハイバー演算子の定義
\[
H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases}
b+1 & n=0\\
a+b & n=1\\
\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots
\end{cases}
\]
クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]
余弦積分の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Log\alpha & x\rightarrow+0\\
\Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
負数の偏角と対数
\[
\Arg\alpha-\Arg\left(-\alpha\right)=2\pi H_{0}\left(\Arg\left(\alpha\right)\right)-\pi
\]