野村数学研究所

論理+数式

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数学その他

分母に1次式がある方程式の厳密解

\[ \frac{a}{bx-c}=d\Leftrightarrow\begin{cases} x=\frac{a+cd}{bd} & a\ne0\land b\ne0\land d\ne0\\ x\in\mathbb{R} & b=0\land c\ne0\land a+cd=0\\ x\in\mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{c}{b}\right\} & a=0\land b\ne0\land d=0\\ x\in\emptyset & \left(a=0\land b\ne0\land d\ne0\right)\lor\left(b=0\land c=0\right)\lor\left(b=0\land c\ne0\land a+cd\ne0\right)\lor\left(a\ne0\land d=0\right) \end{cases} \]

微分積分

べき乗を含む0から∞までの定積分

\[ \Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt \]