行列の相似は同値関係

by nomura · 2026年1月8日

行列の相似は同値関係
行列の相似$A\sim B$は同値関係を満たす。

反射律

$A=I^{-1}AI$なので$A\sim A$となり反射律を満たす。

対称律

$A\sim B$のときある正則行列$P$が存在し$B=P^{-1}AP$となるので左から$P$右から$P^{-1}$を掛けると、$A=PBP^{-1}=\left(P^{-1}\right)^{-1}BP^{-1}$となるので$B\sim A$となる。
従って対称律を満たす。

推移律

$A\sim B\land B\sim C$のとき$B=P_{1}^{-1}AP_{1},C=P_{2}^{-1}BP_{2}$となるので$C=P_{2}^{-1}BP_{2}=P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}=\left(P_{1}P_{2}\right)^{-1}A\left(P_{1}P_{2}\right)$となり$A\sim C$となる。
従って推移律を満たす。