カテゴリー: 線形代数
ベクトル空間の線形同型は同値関係
ベクトル空間の同型$\simeq$は同値関係を満たす。
ベクトル空間の線形同型写像・線形同型の定義と性質
線形写像$f$が全単射であるとき、線形同型写像という。
線形写像の合成写像と像
$f$が全射であるとき、$\im\left(g\circ f\right)=\im g$となる。
線形写像の全射・単射と像・核と次元
単射であることと、$\ker f=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $となることは同値である。
線形写像・行列における次元定理
\[
\dim V=\dim\im f+\dim\ker f
\]
線形写像の核と像の定義と性質
\[
\ker f=\left\{ \boldsymbol{x}\in V;f\left(\boldsymbol{x}\right)=0_{W}\right\}
\]
線形写像と線形変換と表現行列の関係
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}
\]
基底変換行列と表現行列の関係
\[
B=Q^{-1}AP
\]
線形写像の合成と表現行列の積
\[
A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}
\]
表現行列の定義とベクトルの成分
\[
\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A
\]
線形写像・零写像・線形変換・ 恒等変換の定義と性質
\[
\begin{cases}
f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\
f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)
\end{cases}
\]
基底の性質
$K^{n}$空間では$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$が基底であることと、$\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\ne0$であることは同値である。
和空間・積集合の次元
\[
\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim\left(W_{1}+W_{2}\right)+\dim\left(W_{1}\cap W_{2}\right)
\]
ベクトルの基底と成分の変換
\[
\left(\boldsymbol{y}_{1},\boldsymbol{y}_{2},\cdots,\boldsymbol{y}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right)P
\]
ベクトルの基底に関する成分
\[
\boldsymbol{v}=\left(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right)\left(\begin{array}{c}
a_{1}\\
a_{2}\\
\vdots\\
a_{n}
\end{array}\right)
\]
和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間
部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。
生成される部分空間
\[
W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K}
\]
1次従属・1次独立の基本性質
ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。
1次関係と1次独立と1次従属の定義
\[
\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0
\]
部分ベクトル空間(線形部分空間)の定義と性質
\[
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\rightarrow\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W
\]
零ベクトル・逆ベクトルの性質
ベクトル空間の零ベクトルは一意的である。
ベクトル空間(線形空間)の定義
\[
\boldsymbol{x}+\left(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{z}\right)=\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+\boldsymbol{z}
\]
ブロック対角行列の最小多項式
\[
m\left(x\right)=\lcm\left(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\right)
\]
ブロック対角行列の固有空間と広義固有空間
\[
W\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W_{k}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]