NEW!全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
NEW!濃度2以上の密着位相は距離化不可能
$2\leq\left|X\right|$となる密着位相$\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)$は距離化不可能である。
NEW!有限集合で距離化可能なのは離散位相のみ
有限位相空間では距離化可能と離散位相は同値である。
NEW!離散位相は距離化可能
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。
距離空間ならば第1可算空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならば第1可算空間となる。
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間$\left(X,d\right)$ならばハウスドルフ空間となる。
距離空間での空集合・全体集合・1点集合
距離空間$\left(X,d\right)$で空集合$\emptyset$と全体集合$X$はどちらも開集合かつ閉集合となる。
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]
距離空間での有界列の定義
\[
d\left(x_{n},a\right)\leq M
\]