(*)オイラー多項式とベルヌーイ数・ベルヌーイ多項式との関係
\[
E_{n-1}\left(x\right)=\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}x^{n-k}
\]
オイラー多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}\left(x\right)}{k!}t^{k}=\frac{2e^{xt}}{e^{t}+1}
\]
(*)オイラー多項式の微分・積分
\[
E_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)E_{n-k}\left(x\right)
\]
(*)オイラー多項式の総和
\[
E_{n}\left(x+y\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)E_{k}\left(x\right)y^{n-k}
\]
オイラー多項式の性質
\[
E_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(x\right)
\]
(*)オイラー多項式の特殊値
\[
E_{n}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{E_{n}}{2^{n}}
\]
オイラー多項式の定義
\[
E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k}
\]
2項変換とオイラー数
\[
a_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)b_{n-2k}
\]
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n,2k\right)E_{2k}a_{n-2k}
\]
タンジェント数・オイラー数・ベルヌーイ数の関係
\[
\begin{cases}
T_{2k-1}=\left(-1\right)^{k-1}\sum_{j=0}^{k-1}C\left(2k-1,2j\right)E_{2j} & k\in\mathbb{N}\\
T_{2k}=0 & k\in\mathbb{N}_{0}
\end{cases}
\]
オイラー数の総和
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(2n,2k\right)E_{2k}
\]
オイラー数・セカント数・タンジェント数の定義
\[
\cosh^{-1}x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{E_{k}}{k!}x^{k}
\]
ベルヌーイ多項式の微分表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}
\]
(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
\[
P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right)
\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}
\]
(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
\[
B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式の総和
\[
\sum_{j=0}^{n}C\left(n,j\right)B_{j}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(-x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[
B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式の特殊値
\[
B_{n}\left(0\right)=B_{n}
\]
ベルヌーイ多項式の級数表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}
\]
ベルヌーイ多項式の定義
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}
\]
2項変換とベルヌーイ数
\[
b_{n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}a_{n-k}
\]
ベルヌーイ数の一般項
\[
B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}
\]
(*)ベルヌーイ数の総和と漸化式
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n+1,k\right)B_{k}
\]
奇数ベルヌーイ数
\[
B_{2n-1}=-\frac{1}{2}\delta_{1,n}
\]
ベルヌーイ数の定義
\[
\frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}
\]
天秤を使って軽い偽物のコインを探せ
天秤を使って8枚のコインから1枚だけ軽い偽物のコインを見つけてください。
偶数ゼータ関数と円周率を含む交代級数
\[
\frac{\zeta\left(2\right)}{\pi^{2}}-\frac{\zeta\left(4\right)}{\pi^{4}}+\frac{\zeta\left(6\right)}{\pi^{6}}-\frac{\zeta\left(8\right)}{\pi^{8}}+\cdots=?
\]
分母に3次式の総和
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\left(4k\right)^{3}-4k}=?
\]
2項変換と交代2項変換の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}x^{k}=\frac{1}{1-x}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{k}
\]