飛び飛びの2項定理
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(n,2k\right)a^{2k}b^{n-2k}=\frac{1}{2}\left\{ \left(a+b\right)^{n}+\left(-a+b\right)^{n}\right\}
\]
底が異なる指数方程式
\[
9^{x}-6^{x}=4^{x}
\]
3次方程式を解けるかな
\[
z^{3}+z^{2}=36
\]
(*)スターリング数と2項係数
\[
C\left(k,m\right)S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{j=k-m}^{n-m}C\left(n,j\right)S_{1}\left(n-j,m\right)S_{1}\left(j,k-m\right),m\leq k
\]
スターリング数の母関数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\frac{x^{n}}{n!}=\frac{\log^{k}\left(1+x\right)}{k!}
\]
スターリング数の解釈
\[
\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}
\]
スターリング数の簡単な値
\[
S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}
\]
スターリング数とベルヌーイ数の関係
\[
\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}S_{1}\left(m+1,k+1\right)B_{k}=\frac{1}{m+1}
\]
第1種・第2種スターリング数の性質
\[
\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=n!
\]
スターリング数と上昇・下降階乗
\[
Q\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
スターリング数の逆行列
\[
\delta_{nj}=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)S_{2}\left(k,j\right)
\]
第2種スターリング数の一般解
\[
S_{2}\left(n,k\right)=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{k-j}C\left(k,j\right)j^{n}
\]
(*)スターリング数の漸化式
\[
S_{1}\left(n,k\right)=S_{1}\left(n-1,k-1\right)-\left(n-1\right)S_{1}\left(n-1,k\right)
\]
第1種スターリング数の符号
\[
\left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)
\]
第1種スターリング数と第2種スターリング数の定義
\[
P\left(x,n\right)=\sum_{k=0}^{n}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\]
ロウソクは何本残る？
3本のロウソクは次の日に何本残る？
点灯パズル
全てのマスのライトを付けるにはどうすればいいでしょうか？
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
\[
x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
元の位置に戻ってきた
南に100m、東に100m、北に100mで元の位置に戻ってきたのは何故？
誕生日問題
何人いれば誕生日が同じ人がいる確率が50%を超える？
階乗を和に直しましょう
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{\left(3n\right)!}{\left(2n\right)!}}=?
\]
ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[
e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)
\]
交換子が定数になるときの性質
\[
\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}
\]
積の交換子の性質
\[
\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}
\]
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\[
\left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B
\]
交換子の基本的性質(交換関係)
\[
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
\]