フィボナッチ数列同士の最大公約数
\[
\gcd\left(F_{m},F_{n}\right)=F_{\gcd\left(m,n\right)}
\]
フィボナッチ数の負整数での値
\[
F_{-n}=\left(-1\right)^{n+1}F_{n}
\]
フィボナッチ数列の加法定理
\[
F_{m+n}=F_{m-1}F_{n}+F_{m}F_{n+1}
\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の行列表示
\[
\left(\begin{array}{cc}
F_{n+1} & F_{n}\\
F_{n} & F_{n-1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]
フィボナッチ数列の商の極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi
\]
フィボナッチ数列の一般項(ビネの公式)
\[
F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\}
\]
フィボナッチ数列と2項係数
\[
F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)
\]
フィボナッチ数列の組み合せ論的解釈
$n$段の階段を1段または2段ずつ登るときの登り方は$F_{n+1}$通り。
フィボナッチ数列の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}
\]
フィボナッチ数列の定義
\[
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
\]
銅像をいつ倒す？
銅像を90度左右に回転させるだけで全員が部屋に入ったことをどうすれば確認ができるか？
対数同士の積の積分
\[
\int_{0}^{1}\log\left(x\right)\log\left(1+x\right)dx=?
\]
指数関数を分母と分子に含む対数の定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\log\left(\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}\right)dx=?
\]
3角形上での3角関数
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}
\]
3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)
\]
犯人は必ず嘘をつく
犯人は必ず嘘をついていることがわかってます。
正直な犯人
容疑者のうち犯人だけが正直者です。
4枚カード問題(ウェイソン選択課題)
4枚のカードから推論が正しいことを示すにはどうすればいい？
3角形の角度と長さの関係
\[
a\cos A+b\cos B+c\cos C=\frac{8S^{2}}{abc}
\]
5心と頂点までの距離
\[
\left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9}
\]
重心・垂心・外心の関係
\[
\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G}
\]
第1余弦定理と第2余弦定理
\[
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A
\]
正弦定理
\[
\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R
\]
傍心円の半径
\[
r_{a}=\frac{S}{s-a}
\]