三角関数と双曲線関数の実部と虚部
三角関数の実部と虚部
(1)
\[ \sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \](2)
\[ \cos z=\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \](3)
\begin{align*} \tan z & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*}(1)
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)-\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tan z & =\tan\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)+\tan\left(i\Im\left(z\right)\right)}{1-\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\tan\left(i\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)}{1-i\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\left(1-\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)\left(1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\right)}{1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh^{-2}\left(\Im\left(z\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)\cos^{-2}\left(\Re\left(z\right)\right)}{1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sin^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\tag{*}\\ & =\frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+1+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\\ & \frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*}双曲線関数の実部と虚部
(1)
\begin{align*} \sinh z & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh z & =\frac{\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)} \end{align*}(1)
\begin{align*} \sinh z & =\frac{1}{i}\sin\left(iz\right)\\ & =-i\left(\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\right)\\ & =-i\left(\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\right)\\ & =\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \sinh z & =\sinh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(iz\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\\ & =\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \cosh z & =\cosh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh z & =\frac{1}{i}\tan\left(iz\right)\\ & =-i\frac{\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(iz\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(iz\right)\right)}\\ & =-i\frac{\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(-\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =-i\frac{-\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\tag{*}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+1+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)-1}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の実部と虚部 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kyzzmnqu/ |
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逆三角関数と逆双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[
\int\sin^{\bullet,n}xdx=x\sin^{\bullet,n}x+n\sqrt{1-x^{2}}\sin^{\bullet,n-1}x-n(n-1)\int\sin^{\bullet,n-2}xdx
\]
3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の関係
\[
\Sin^{\bullet}\left(iz\right)=i\Sinh^{\bullet}z
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の積分表示
\[
\sin^{\bullet}x=\int_{0}^{x}\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt
\]