三角関数と双曲線関数の実部と虚部
三角関数の実部と虚部
(1)
\[ \sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \](2)
\[ \cos z=\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \](3)
\begin{align*} \tan z & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*}(1)
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)-\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tan z & =\tan\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)+\tan\left(i\Im\left(z\right)\right)}{1-\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\tan\left(i\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)}{1-i\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\left(1-\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)\left(1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\right)}{1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh^{-2}\left(\Im\left(z\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)\cos^{-2}\left(\Re\left(z\right)\right)}{1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sin^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\tag{*}\\ & =\frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+1+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\\ & \frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*}双曲線関数の実部と虚部
(1)
\begin{align*} \sinh z & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh z & =\frac{\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)} \end{align*}(1)
\begin{align*} \sinh z & =\frac{1}{i}\sin\left(iz\right)\\ & =-i\left(\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\right)\\ & =-i\left(\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\right)\\ & =\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \sinh z & =\sinh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(iz\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\\ & =\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \cosh z & =\cosh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh z & =\frac{1}{i}\tan\left(iz\right)\\ & =-i\frac{\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(iz\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(iz\right)\right)}\\ & =-i\frac{\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(-\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =-i\frac{-\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\tag{*}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+1+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)-1}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の実部と虚部 |
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1±itan(z)など
\[
1\pm i\tan z=\frac{1}{\cos\left(2\Re z\right)+\cosh\left(2\Im z\right)}\left(e^{\pm2i\Re z}+e^{\mp2\Im z}\right)
\]
三角関数と双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\tan x=\cos^{-2}x
\]
三角関数と双曲線関数の加法定理
\[
\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y
\]
偏角の三角関数
\[
\sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|}
\]