[2023年藤田医科大学・数学問題2]ルートの中に逆数の定積分
\[
\int_{1}^{3}\sqrt{\frac{4}{x}-1}dx=?
\]
カテゴリー: 数学
数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
不完全ベータ関数の性質
\[
B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[
B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)
\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]
ベータ関数の対称性
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt
\]
一般ヴァンデルモンドの畳み込み定理
\[
\sum_{k_{1}+\cdots+k_{p}=m}\prod_{j=1}^{p}C\left(n_{j},k_{j}\right)=C\left(\sum_{j=1}^{p}n_{j},m\right)
\]
超幾何関数のオイラー積分表示と超幾何定理とヴァンデルモンドの恒等式
\[
F\left(a,b;c;1\right)=\frac{\Gamma\left(c\right)\Gamma\left(c-a-b\right)}{\Gamma\left(c-a\right)\Gamma\left(c-b\right)}
\]
正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示
\[
\int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C
\]
3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示
\[
\int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C
\]
一般化超幾何関数の微分と積分
\[
\frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right)
\]
基本的な関数の一般化超幾何関数表示
\[
\left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right)
\]
超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解
\[
x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0
\]
合流型超幾何微分方程式の解
\[
xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0
\]
簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す
\[
ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)}
\]
上昇階乗・下降階乗の微分と極限
\[
\frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\}
\]
[2025年京都大学・数学第1問]簡単な定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx=?
\]
写像12相
n個のボールをk個の箱に入れる場合の数の一覧表。
空箱ありと空箱なしとの関係
\[
A\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}B\left(n,j\right)
\]
2項係数の第1引数と第2引数同士の総和
\[
\sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases}
\left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\
0 & k<a-b+c
\end{cases}
\]
ベル数の簡単な値
\[
B\left(n,0\right)=\delta_{0,n}
\]
ベル数の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B\left(k\right)\frac{x^{k}}{k!}=e^{e^{x}-1}
\]
ベル数の漸化式
\[
B\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B\left(k\right)
\]
ベル数の定義
\[
B\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,j\right)
\]
xDの冪乗の性質
\[
\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}
\]
冪乗和と第2種スターリング数の関係
\[
\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)
\]