ベータ関数の逆数を含む総和
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}}{B\left(n-k+1,k+1\right)\left(2k+1\right)}=?
\]
カテゴリー: 数学
逆3角関数の積の積分
\[
\int\sin^{\bullet}x\cos^{\bullet}xdx=?
\]
[2005年京都大学文系・数学第4問]3乗同士の差の整数問題
\[
a^{3}-b^{3}=65,\left(a,b\right)=?
\]
2項係数の2重和の問題
\[
\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\sum_{j=k}^{n}C\left(n+1,j+1\right)=?
\]
[2023年東工大数学第1問]積分の整数部分
\[
\left\lfloor \int_{0}^{2023}\frac{2}{x+e^{x}}dx\right\rfloor =?
\]
基本的な関数のフーリエ変換
\[
\mathcal{F}_{1,x}\left[x^{n}\right]\left(\xi\right)=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n}\delta^{\left(n\right)}\left(\xi\right)
\]
ヘヴィサイド関数と符号
\[
H_{c}\left(x\right)f\left(\pm x\right)=H_{c}\left(x\right)f\left(\pm\left|x\right|\right)
\]
矩形関数の性質
\[
\mathrm{rect}\left(x\right)=H_{\frac{1}{2}}\left(x+\frac{1}{2}\right)-H_{\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)
\]
3角形関数の性質
\[
\mathrm{tri}\left(x\right)=\mathrm{rect}\left(x\right)*_{x}\mathrm{rect}\left(x\right)
\]
のこぎり波の定義
\[
f\left(x\right):=x
\]
矩形波の定義
\[
f\left(x\right):=\begin{cases}
-1 & x<0\\
0 & x=0\\
1 & 0<x
\end{cases}
\]
矩形関数の定義
\[
\mathrm{rect}\left(x\right):=\begin{cases}
1 & \left|x\right|<\frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & \left|x\right|=\frac{1}{2}\\
0 & \frac{1}{2}<\left|x\right|
\end{cases}
\]
3角形関数の定義
\[
\mathrm{tri}\left(x\right):=\max\left(1-\left|x\right|,0\right)
\]
簡単な関数のフーリエ級数展開
\[
F\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{\pi\left(2k-1\right)}\sin\left(\left(2k-1\right)x\right)
\]
ディリクレの収束定理
\[
F\left(x\right)=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f\left(x+\epsilon\right)+f\left(x-\epsilon\right)}{2}
\]
リーマン・ルベーグの定理
\[
\lim_{k\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f\left(x\right)e^{ikx}dx=0
\]
フーリエ級数展開でのベッセルの不等式
\[
\sum_{k=-n}^{n}\left|C_{k}\right|^{2}\leq\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left|f\left(x\right)\right|^{2}dx
\]
ディリクレ核の性質
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}D_{n}\left(x\right)=2\pi\mathrm{comb}_{2\pi}\left(x\right)
\]
ディリクレ核の定義と別表示
\[
D_{n}\left(x\right)=\sum_{k=-n}^{n}e^{ikx}
\]
デルタ関数の色々な表現
\[
\delta\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk
\]
デルタ関数の性質
\[
\delta\left(ax\right)=\frac{1}{\left|a\right|}\delta\left(x\right)
\]
デルタ関数の定義
\[
\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x\right)dx=f\left(0\right)
\]
[2022年関西大学文系数学]3角関数の分数の最小値問題
$-\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$のとき、$\frac{2\sin\theta+4\cos\theta+5}{\sin\theta+\cos\theta+1}$の最小値。
円に内接する4角形の余弦
\[
\cos A=\frac{\left|DA\right|^{2}+\left|AB\right|^{2}-\left|BC\right|^{2}-\left|CD\right|^{2}}{2\left(\left|DA\right|\left|AB\right|+\left|BC\right|\left|CD\right|\right)}
\]
3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]
鋭角・直角・鈍角と鋭角3角形・直角3角形・鈍角3角形の定義と性質
$0^{\circ}$より大きく$90^{\circ}$より小さい角を鋭角という。
3角形の角と対辺の大小関係
\[
A<B\Leftrightarrow a<b
\]
分母に双曲線関数で分子に3角関数の定積分
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{\cosh x}dx=?
\]