エルミート転置の性質
エルミート転置の性質
エルミート転置\(A^{*}\)について次が成り立つ。
\(\overline{A}\)は複素共役行列
エルミート転置\(A^{*}\)について次が成り立つ。
(1)スカラー倍
\[ \left(aA\right)^{*}=\overline{a}A^{*} \](2)和
\[ \left(A+B\right)^{*}=A^{*}+B^{*} \](3)エルミート転置のエルミート転置
\[ A^{**}=A \](4)積のエルミート転置
\[ \left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*} \]-
\(A^{T}\)は転置行列\(\overline{A}\)は複素共役行列
その他次が成り立ちます。
すなわち、
\[ \det\left(\lambda I-A^{*}\right)=\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \] となる。
(1)逆行列
\[ \left(A^{-1}\right)^{*}=\left(A^{*}\right)^{-1} \](2)行列式
\[ \det\left(A^{*}\right)=\det\left(A\right) \](3)トレース
\[ \tr\left(A^{*}\right)=\tr\left(A\right) \](4)階数
\[ \rank\left(A^{*}\right)=\rank\left(A\right) \](5)固有値
エルミート転置\(A^{*}\)の固有値は\(A\)の固有値の複素共役となる。すなわち、
\[ \det\left(\lambda I-A^{*}\right)=\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \] となる。
(6)内積
\[ \left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \](1)
\begin{align*} \left(aA\right)^{*} & =\overline{\left(aA\right)}^{T}\\ & =\left(\overline{a}\overline{A}\right)^{T}\\ & =\overline{a}\overline{A}^{T}\\ & =\overline{a}A^{*} \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(A+B\right)^{*} & =\overline{\left(A+B\right)}^{T}\\ & =\left(\overline{A}+\overline{B}\right)^{T}\\ & =\overline{A}^{T}+\overline{B}^{T}\\ & =A^{*}+B^{*} \end{align*}(3)
\begin{align*} A^{**} & =\overline{\left(\overline{A}^{T}\right)}^{T}\\ & =\overline{\overline{A}}^{TT}\\ & =A \end{align*}(4)
\begin{align*} \left(AB\right)^{*} & =\overline{\left(AB\right)}^{T}\\ & =\left(\overline{A}\overline{B}\right)^{T}\\ & =\overline{B}^{T}\overline{A}^{T}\\ & =B^{*}A^{*} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | エルミート転置の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pcyz7swu/ |
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]