複素共役行列の性質
複素共役行列の性質
複素共役行列\(\overline{A}\)について次が成り立つ。
複素共役行列\(\overline{A}\)について次が成り立つ。
(1)和
\[ \overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B} \](2)複素共役の複素共役
\[ \overline{\overline{A}}=A \](3)積
\[ \overline{AB}=\overline{A}\overline{B} \]その他次が成り立つ。
すなわち、
\[ \det\left(\lambda I-\overline{A}\right)=\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \] となる。
(1)逆行列
\[ \overline{A^{-1}}=\left(\overline{A}\right)^{-1} \](2)行列式
\[ \det\left(\overline{A}\right)=\overline{\det\left(A\right)} \](3)トレース
\[ \tr\left(\overline{A}\right)=\overline{\tr\left(A\right)} \](4)固有値
複素共役行列の固有値は元の行列の固有値の複素共役に等しい。すなわち、
\[ \det\left(\lambda I-\overline{A}\right)=\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \] となる。
(5)階数
\[ \rank\left(\overline{A}\right)=\rank\left(A\right) \](1)
\begin{align*} \left(\overline{A+B}\right)_{i,j} & =\overline{\left(A+B\right)_{i,j}}\\ & =\overline{\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j}}\\ & =\overline{\left(A\right)_{i,j}}+\overline{\left(B\right)_{i,j}}\\ & =\left(\overline{A}\right)_{i,j}+\left(\overline{B}\right)_{i,j}\\ & =\left(\overline{A}+\overline{B}\right)_{i,j} \end{align*} となるので、\[ \overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B} \] となり、与式は成り立つ。
(2)
\begin{align*} \left(\overline{\overline{A}}\right)_{i,j} & =\overline{\left(\overline{A}\right)_{i,j}}\\ & =\overline{\overline{\left(A\right)_{i,j}}}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、\[ \overline{\overline{A}}=A \] となり、与式は成り立つ。
(3)
\(A\)を\(l\times m\)行列、\(B\)を\(m\times n\)行列とする。\begin{align*} \left(\overline{AB}\right)_{i,j} & =\overline{\left(AB\right)_{i,j}}\\ \\ & =\overline{\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\overline{\left(A\right)_{i,k}}\overline{\left(B\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\overline{\left(A\right)_{i,k}}\overline{\left(B\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\left(\overline{A}\right)_{i,k}\left(\overline{B}\right)_{k,j}\\ & =\left(\overline{A}\overline{B}\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ \overline{AB}=\overline{A}\overline{B} \] となり、与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 複素共役行列の性質 |
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]