[2025年京都大学・数学第1問]簡単な定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx=?
\]
写像12相
n個のボールをk個の箱に入れる場合の数の一覧表。
空箱ありと空箱なしとの関係
\[
A\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}B\left(n,j\right)
\]
2項係数の第1引数と第2引数同士の総和
\[
\sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases}
\left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\
0 & k<a-b+c
\end{cases}
\]
ベル数の簡単な値
\[
B\left(n,0\right)=\delta_{0,n}
\]
ベル数の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B\left(k\right)\frac{x^{k}}{k!}=e^{e^{x}-1}
\]
ベル数の漸化式
\[
B\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B\left(k\right)
\]
ベル数の定義
\[
B\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,j\right)
\]
xDの冪乗の性質
\[
\left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k}
\]
冪乗和と第2種スターリング数の関係
\[
\sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)
\]
微分演算子とスターリング数
\[
x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k}
\]
最大個数制限付きの分割数の漸化式
\[
p_{1}\left(n,k,m\right)=p_{1}\left(n,k-1,m\right)+p_{1}\left(n-k,k,m\right)-p_{1}\left(n-k-m,k-1,m\right)
\]
分割数の簡単な値
\[
p\left(n,2\right)=1+\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor
\]
分割数の漸化式
\[
p\left(n,k\right)=p\left(n,k-1\right)+p\left(n-k,k\right)
\]
空箱あり・なしの分割数の定義
\[
q\left(n,k\right)=p\left(n-k,k\right)
\]
床関数を含む積分です
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left\lfloor \tan x\right\rfloor }{\tan x}dx=?
\]
2本の紐を燃やして時間を計る
2本の紐を燃やして時間を計るにはどうすればいい？
12個の箱に2枚のコイン
順番に箱を開けていくとき、どちらが有利でしょうか？
3階のエディントン・イプシロンの性質
\[
\epsilon_{ijk}=\det\left(\begin{array}{ccc}
\delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\
\delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\
\delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k}
\end{array}\right)
\]
レヴィ・チヴィタ・イプシロンの定義
\[
\epsilon_{ijk}=\begin{cases}
+1 & even\\
-1 & odd\\
0 & etc
\end{cases}
\]
[2022年慶應義塾大学医学部数学第1問] 因数分解
$x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1$を因数分解せよ。
[2007年埼玉医科大学・数学]定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\frac{1}{1+\sqrt{3}\tan x}dx=?
\]
直交曲線座標でのナブラ演算子・回転・発散・ラプラシアン
\[
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}=\frac{1}{h}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\frac{A_{i}h}{h_{i}}
\]
直交曲線座標での単位基底ベクトルの回転・発散
\[
\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{hh_{i}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h-\frac{1}{h_{i}^{2}}\frac{\partial}{\partial q_{i}}h_{i}
\]
直交曲線座標での性質
\[
h_{i}\boldsymbol{\nabla}q_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}
\]
スケール因子・微小線素と単位基底ベクトル・ベクトルの成分同士の関係
\[
\boldsymbol{u}_{i}=\frac{1}{h_{i}}\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_{i}}
\]
勾配の方向と方向微分
\[
\nabla_{\boldsymbol{v}}f\left(\boldsymbol{r}\right):=\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}f
\]
ストークスの定理とガウスの発散定理
\[
\iiint_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{A}dV=\iint_{S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{S}
\]