野村数学研究所

3角関数

2025年8月7日

正弦と余弦のべき乗の積の積分の超幾何関数表示

\[ \int\sin^{\alpha}\left(x\right)\cos^{\beta}\left(x\right)dx=\frac{\cos^{\beta-1}}{\left(\cos^{2}\left(x\right)\right)^{\frac{\beta-1}{2}}}\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1-\beta}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C \]

3角関数

2025年8月6日

3角関数のべき乗の積分の超幾何関数表示

\[ \int\sin^{\alpha}\left(x\right)dx=\frac{\sin^{\alpha+1}\left(x\right)}{\alpha+1}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha+1}{2};\frac{\alpha+3}{2};\sin^{2}\left(x\right)\right)+C \]

超幾何関数

2025年8月5日

一般化超幾何関数の微分と積分

\[ \frac{d}{dx}F\left(\boldsymbol{a};\boldsymbol{b};x\right)=\frac{\prod_{i=1}^{\dim\boldsymbol{a}}a_{i}}{\prod_{j=1}^{\dim\boldsymbol{b}}b_{j}}F\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{1};\boldsymbol{b}+\boldsymbol{1};x\right) \]

超幾何関数

2025年8月4日

基本的な関数の一般化超幾何関数表示

\[ \left(1+x\right)^{a}=F\left(-a;;-x\right) \]

超幾何関数

2025年8月1日

幾何級数・超幾何級数・超幾何関数・合流型超幾何関数・一般化超幾何関数の定義

超幾何関数

2025年7月31日

超幾何微分方程式(ガウスの微分方程式)の解

\[ x\left(1-x\right)y''\left(x\right)+\left(c-\left(a+b+1\right)x\right)y'\left(x\right)-aby\left(x\right)=0 \]

超幾何関数

2025年7月29日

合流型超幾何微分方程式の解

\[ xy''\left(x\right)+\left(b-x\right)y'\left(x\right)-ay\left(x\right)=0 \]

超幾何関数

2025年7月28日

簡単な関数を上昇階乗とべき乗を使って表す

\[ ak+b=b\frac{Q\left(\frac{b}{a}+1,k\right)}{Q\left(\frac{b}{a},k\right)} \]

階乗冪

2025年7月27日

上昇階乗・下降階乗の微分と極限

\[ \frac{d}{dx}Q\left(x,y\right)=Q\left(x,y\right)\left\{ \psi\left(x+y\right)-\psi\left(x\right)\right\} \]

大学入試問題

2025年7月27日

[2025年京都大学・数学第1問]簡単な定積分

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx=? \]

組合せ論

2025年7月25日

写像12相

n個のボールをk個の箱に入れる場合の数の一覧表。

組合せ論

2025年7月24日

空箱ありと空箱なしとの関係

\[ A\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}B\left(n,j\right) \]

２項係数

2025年7月23日

2項係数の第1引数と第2引数同士の総和

\[ \sum_{j=0}^{k-a}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j+a\right)C\left(j+b,c\right)=\begin{cases} \left(-1\right)^{k-a}C\left(b-a,c-k\right) & a-b+c\leq k\\ 0 & k<a-b+c \end{cases} \]

ベル数

2025年7月21日

ベル数の簡単な値

\[ B\left(n,0\right)=\delta_{0,n} \]

ベル数

2025年7月18日

ベル数の指数型母関数

\[ \sum_{k=0}^{\infty}B\left(k\right)\frac{x^{k}}{k!}=e^{e^{x}-1} \]

ベル数

2025年7月17日

ベル数の漸化式

\[ B\left(n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B\left(k\right) \]

ベル数

2025年7月16日

ベル数の定義

\[ B\left(n,k\right)=\sum_{j=0}^{k}S_{2}\left(n,j\right) \]

微分積分

2025年7月15日

xDの冪乗の性質

\[ \left(x\frac{d}{dx}\right)^{n}e^{x}=e^{x}\sum_{k=0}^{\infty}S_{2}\left(n,k\right)x^{k} \]

スターリング数

2025年7月13日

冪乗和と第2種スターリング数の関係

\[ \sum_{k=0}^{n}k^{m}x^{k}=\sum_{k=0}^{m}S_{2}\left(m,k\right)x^{k}\frac{d^{k}}{dx^{k}}\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right) \]

スターリング数

2025年7月11日

微分演算子とスターリング数

\[ x^{n}\frac{d^{n}}{dx^{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(x\frac{d}{dx}\right)^{k} \]

分割数

2025年7月10日

最大個数制限付きの分割数の漸化式

\[ p_{1}\left(n,k,m\right)=p_{1}\left(n,k-1,m\right)+p_{1}\left(n-k,k,m\right)-p_{1}\left(n-k-m,k-1,m\right) \]

分割数

2025年7月9日

分割数の簡単な値

\[ p\left(n,2\right)=1+\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \]

分割数

2025年7月8日

分割数の漸化式

\[ p\left(n,k\right)=p\left(n,k-1\right)+p\left(n-k,k\right) \]

分割数

2025年7月7日

空箱あり・なしの分割数の定義

\[ q\left(n,k\right)=p\left(n-k,k\right) \]

論理問題

2025年7月6日

地上と地下、早いのはどちら？

引っ掛け問題

2025年7月5日

不正をされていることに気づいている

積分問題

2025年7月4日

床関数を含む積分です

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\left\lfloor \tan x\right\rfloor }{\tan x}dx=? \]

論理問題

2025年7月3日

2本の紐を燃やして時間を計る

2本の紐を燃やして時間を計るにはどうすればいい？

論理問題

2025年7月2日

12個の箱に2枚のコイン

順番に箱を開けていくとき、どちらが有利でしょうか？

レヴィチヴィタ・イプシロン

2025年7月1日

3階のエディントン・イプシロンの性質

\[ \epsilon_{ijk}=\det\left(\begin{array}{ccc} \delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k}\\ \delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k}\\ \delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k} \end{array}\right) \]