ケーリー・ハミルトンの定理
\[
p_{A}\left(A\right)=O
\]
カテゴリー: 行列
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[
A=S+T
\]
正規行列の性質
正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値である。
直交行列の性質
直交行列$A$の逆行列$A^{-1}$も直交行列になる。
ユニタリ行列の性質
ユニタリ行列$U$の逆行列$U^{-1}$もユニタリ行列である。
反エルミート行列の性質
反エルミート行列の対角成分の実部は0である。
エルミート行列の性質
エルミート行列$H$の逆行列$H^{-1}$はエルミート行列になる。
反対称行列の性質
反対称行列同士の和は反対称行列になる。
対称行列の性質
対称行列同士の和は対称行列になる。
対角行列の性質
対角行列は積に関して可換である。
標準エルミート内積の性質
\[
\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle
\]
行列の指数関数の性質
\[
\left(e^{A}\right)^{-1}=e^{-A}
\]
トレースの性質
\[
\tr\left(AB\right)=\tr\left(BA\right)
\]
逆行列の性質
\[
\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
\]
正則行列の性質
\[
\det\left(A\right)\ne0\Leftrightarrow\ker\left(A\right)=\boldsymbol{0}
\]
エルミート転置の性質
\[
\left(AB\right)^{*}=B^{*}A^{*}
\]
複素共役行列の性質
\[
\overline{AB}=\overline{A}\overline{B}
\]
転置行列の性質
\[
\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}
\]
固有ベクトルの性質
異なる固有値に属する固有ベクトルは1次独立である。
固有値の性質
\[
\tr\left(A\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}
\]
行列の対角化可能性
\[
\text{対角化可能}\Leftrightarrow\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n
\]
固有空間の次元と幾何学的重複度
\[
\dim W\left(\lambda_{0}\right)=n-\rank\left(\lambda_{0}I-A\right)
\]
線形包の定義
\[
\left\langle S\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{r}c_{i}\boldsymbol{v}_{i};r<\infty,\left\{ \boldsymbol{v}_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq S,\left\{ c_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq K\right\}
\]
固有方程式・固有値・固有ベクトルと固有空間
\[
W\left(\lambda\right)=\ker\left(A-\lambda I\right)
\]
固有多項式・最小多項式の性質
固有多項式・最小多項式ともに固有値を代入すると0になる。
固有多項式と最小多項式の定義
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)
\]
対角行列の性質
\[
\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right)
\]