NEW!スチュワートの定理と中線定理と平行4辺形公式
\[
xa^{2}+yb^{2}=c\left(d^{2}+xy\right)
\]
NEW!3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
\[
\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r}
\]
NEW!チャップル・オイラーの定理とオイラーの不等式と外接円の半径と内接円の半径の比
\[
\left|IJ\right|^{2}=R^{2}-2Rr
\]
NEW!双心4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}
\]
円に内接する4角形の対角の和
\[
\angle DAB+\angle BCD=\pi
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の整数値
\[
\gamma\left(n+1,x\right)=-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\left(P\left(n,k\right)x^{n-k}\right)+n!
\]
ζ(2)のような総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{2}+1}=?
\]
定数係数隣接3項間線形非同次漸化式
\[
pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=s
\]
定数係数隣接3項間線形(同次・非同次)漸化式
\[
pa_{n+2}+qa_{n+1}+ra_{n}=f\left(x\right)
\]
方べきの定理
\[
\left|PA_{1}\right|\left|PA_{2}\right|=\left|OP\right|^{2}-r^{2}
\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[
\angle BOA=2\angle BPA
\]
面積ベクトルと角度の符号
\[
\overrightarrow{\triangle ABC}:=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}
\]
連分数の収束子の奇偶性
\[
\frac{p_{2k}}{q_{2k}}<\frac{p_{2\left(k+1\right)}}{q_{2\left(k+1\right)}}
\]
連分数と最大公約数
\[
\gcd\left(p_{n},q_{n}\right)=1
\]
無限連分数の収束条件
\[
\left[a_{0};a_{1},a_{2},\cdots\right]<\infty\Leftrightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}=\infty
\]
連分数の収束子と漸化式
\[
\frac{p_{n}}{q_{n}}=a_{0}+\sum_{k=1}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k+1}}{q_{k}q_{k-1}}\prod_{j=0}^{k-1}b_{j}
\]
(*)簡単な連分数展開
\[
\left[x;x,x,\cdots\right]=\frac{1}{2}\left(x+\sqrt{x^{2}+4}\right)
\]
連分数の性質
\[
\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,a_{n}+c\right]=\left[\left(a_{0},b_{0}\right);\left(a_{1},b_{1}\right),\cdots,\left(a_{n},b_{n}\right),\frac{b_{n}}{c}\right]
\]
連分数の定義
\[
\left[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots\right]:=a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}
\]
[2025年京都大学・数学第2問]整数問題
$x,y,z\in\mathbb{N},N=9z^{2}=x^{6}+y^{4}$で表される自然数$N$の最小値。
[2023年藤田医科大学・数学問題2]ルートの中に逆数の定積分
\[
\int_{1}^{3}\sqrt{\frac{4}{x}-1}dx=?
\]
数列の極限での大小関係
\[
a_{n}<b_{n}\Rightarrow a\leq b
\]