対角集合の定義
集合\(X\)が与えられているとする。直積集合\(X\times X\)の部分集合\(\Delta_{X}=\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} =\left\{ \left(x,x\right)\in X\times X\right\} \subseteq X^{2}\)を\(X\times X\)の対角集合または対角線集合という。
集合\(X\)が与えられているとする。直積集合\(X\times X\)の部分集合\(\Delta_{X}=\left\{ \left(x,y\right)\in X\times X;x=y\right\} =\left\{ \left(x,x\right)\in X\times X\right\} \subseteq X^{2}\)を\(X\times X\)の対角集合または対角線集合という。
\(X=\left\{ a,b\right\} \)とすると\(\Delta_{X}=\left\{ \left(a,a\right),\left(b,b\right)\right\} \)となる。
ページ情報
| タイトル | 対角集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/stzx0gqp/ |
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集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]