三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式

三角関数の積和公式

(1)

\[ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\} \]

(2)

\[ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right\} \]

(3)

\[ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\} \]

(4)

\[ \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\} \]

三角関数の加法定理
\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) & =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{a}\\ \sin(\alpha-\beta) & =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{b}\\ \cos(\alpha+\beta) & =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{c}\\ \cos(\alpha-\beta) & =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{d} \end{align*}

(1)

\((a+b)/2\)

(2)

\((a-b)/2\)

(3)

\((c+d)/2\)

(4)

\((c-d)/2\)

双曲線関数の積和公式

(1)

\[ \sinh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)\right\} \]

(2)

\[ \cosh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)\right\} \]

(3)

\[ \cosh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)\right\} \]

(4)

\[ \sinh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)\right\} \]

双曲線関数の加法定理
\begin{align*} \sinh(\alpha+\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{a}\\ \sinh(\alpha-\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{b}\\ \cosh(\alpha+\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{c}\\ \cosh(\alpha-\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{d} \end{align*}

(1)

\((a+b)/2\)

(2)

\((a-b)/2\)

(3)

\((c+d)/2\)

(4)

\((c-d)/2\)

三角関数の和積公式

(1)

\[ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \]

(2)

\[ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \]

(3)

\[ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \]

(4)

\[ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \]

三角関数の積和公式で
\begin{align*} \alpha & =\frac{A+B}{2}\\ \beta & =\frac{A-B}{2} \end{align*}

とすれば導出できる。

双曲線関数の和積公式

(1)

\[ \sinh A+\sinh B=2\sinh\frac{A+B}{2}\cosh\frac{A-B}{2} \]

(2)

\[ \sinh A-\sinh B=2\cosh\frac{A+B}{2}\sinh\frac{A-B}{2} \]

(3)

\[ \cosh A+\cosh B=2\cosh\frac{A+B}{2}\cosh\frac{A-B}{2} \]

(4)

\[ \cosh A-\cosh B=2\sinh\frac{A+B}{2}\sinh\frac{A-B}{2} \]

双曲線関数の積和公式で
\begin{align*} \alpha & =\frac{A+B}{2}\\ \beta & =\frac{A-B}{2} \end{align*}

とすれば導出できる。

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三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式

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