三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式
三角関数の積和公式
(1)
\[ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\} \](2)
\[ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right\} \](3)
\[ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\} \](4)
\[ \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\} \]三角関数の加法定理
\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) & =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{a}\\ \sin(\alpha-\beta) & =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{b}\\ \cos(\alpha+\beta) & =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{c}\\ \cos(\alpha-\beta) & =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{d} \end{align*}
\begin{align*} \sin(\alpha+\beta) & =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{a}\\ \sin(\alpha-\beta) & =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{b}\\ \cos(\alpha+\beta) & =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{c}\\ \cos(\alpha-\beta) & =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{d} \end{align*}
(1)
\((a+b)/2\)(2)
\((a-b)/2\)(3)
\((c+d)/2\)(4)
\((c-d)/2\)双曲線関数の積和公式
(1)
\[ \sinh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)\right\} \](2)
\[ \cosh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)\right\} \](3)
\[ \cosh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)\right\} \](4)
\[ \sinh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)\right\} \]双曲線関数の加法定理
\begin{align*} \sinh(\alpha+\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{a}\\ \sinh(\alpha-\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{b}\\ \cosh(\alpha+\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{c}\\ \cosh(\alpha-\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{d} \end{align*}
\begin{align*} \sinh(\alpha+\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{a}\\ \sinh(\alpha-\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{b}\\ \cosh(\alpha+\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{c}\\ \cosh(\alpha-\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{d} \end{align*}
(1)
\((a+b)/2\)(2)
\((a-b)/2\)(3)
\((c+d)/2\)(4)
\((c-d)/2\)三角関数の和積公式
(1)
\[ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \](2)
\[ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \](3)
\[ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \](4)
\[ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \]三角関数の積和公式で
\begin{align*} \alpha & =\frac{A+B}{2}\\ \beta & =\frac{A-B}{2} \end{align*} とすれば導出できる。
\begin{align*} \alpha & =\frac{A+B}{2}\\ \beta & =\frac{A-B}{2} \end{align*} とすれば導出できる。
双曲線関数の和積公式
(1)
\[ \sinh A+\sinh B=2\sinh\frac{A+B}{2}\cosh\frac{A-B}{2} \](2)
\[ \sinh A-\sinh B=2\cosh\frac{A+B}{2}\sinh\frac{A-B}{2} \](3)
\[ \cosh A+\cosh B=2\cosh\frac{A+B}{2}\cosh\frac{A-B}{2} \](4)
\[ \cosh A-\cosh B=2\sinh\frac{A+B}{2}\sinh\frac{A-B}{2} \]双曲線関数の積和公式で
\begin{align*} \alpha & =\frac{A+B}{2}\\ \beta & =\frac{A-B}{2} \end{align*} とすれば導出できる。
\begin{align*} \alpha & =\frac{A+B}{2}\\ \beta & =\frac{A-B}{2} \end{align*} とすれば導出できる。
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qizz22mm/ |
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三角関数の合成
\[
a\sin\theta+b\cos\theta =\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\theta+\alpha)
\]
三角関数と双曲線関数の冪乗積分漸化式
\[
\int\sin^{n}xdx=-\frac{1}{n}\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}xdx\qquad(n\ne0)
\]
三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[
\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\}
\]
逆三角関数の三角関数と逆双曲線関数の双曲線関数
\[
\sin\Cos^{\bullet}z=\sqrt{1-z^{2}}
\]