三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式
三角関数の積和公式
(1)
\[ \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\right\} \]
(2)
\[ \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\right\} \]
(3)
\[ \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\right\} \]
(4)
\[ \sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\right\} \]
三角関数の加法定理
\begin{align*}
\sin(\alpha+\beta) & =\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{a}\\
\sin(\alpha-\beta) & =\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\qquad\tag{b}\\
\cos(\alpha+\beta) & =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{c}\\
\cos(\alpha-\beta) & =\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\qquad\tag{d}
\end{align*}
(1)
\((a+b)/2\)
(2)
\((a-b)/2\)
(3)
\((c+d)/2\)
(4)
\((c-d)/2\)
双曲線関数の積和公式
(1)
\[ \sinh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sinh(\alpha+\beta)+\sinh(\alpha-\beta)\right\} \]
(2)
\[ \cosh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \sinh(\alpha+\beta)-\sinh(\alpha-\beta)\right\} \]
(3)
\[ \cosh\alpha\cosh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cosh(\alpha+\beta)+\cosh(\alpha-\beta)\right\} \]
(4)
\[ \sinh\alpha\sinh\beta=\frac{1}{2}\left\{ \cosh(\alpha+\beta)-\cosh(\alpha-\beta)\right\} \]
双曲線関数の加法定理
\begin{align*}
\sinh(\alpha+\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta+\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{a}\\
\sinh(\alpha-\beta) & =\sinh\alpha\cosh\beta-\cosh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{b}\\
\cosh(\alpha+\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta+\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{c}\\
\cosh(\alpha-\beta) & =\cosh\alpha\cosh\beta-\sinh\alpha\sinh\beta\qquad\tag{d}
\end{align*}
(1)
\((a+b)/2\)
(2)
\((a-b)/2\)
(3)
\((c+d)/2\)
(4)
\((c-d)/2\)
三角関数の和積公式
(1)
\[ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \]
(2)
\[ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \]
(3)
\[ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \]
(4)
\[ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \]
三角関数の積和公式で
\begin{align*}
\alpha & =\frac{A+B}{2}\\
\beta & =\frac{A-B}{2}
\end{align*}
とすれば導出できる。
双曲線関数の和積公式
(1)
\[ \sinh A+\sinh B=2\sinh\frac{A+B}{2}\cosh\frac{A-B}{2} \]
(2)
\[ \sinh A-\sinh B=2\cosh\frac{A+B}{2}\sinh\frac{A-B}{2} \]
(3)
\[ \cosh A+\cosh B=2\cosh\frac{A+B}{2}\cosh\frac{A-B}{2} \]
(4)
\[ \cosh A-\cosh B=2\sinh\frac{A+B}{2}\sinh\frac{A-B}{2} \]
双曲線関数の積和公式で
\begin{align*}
\alpha & =\frac{A+B}{2}\\
\beta & =\frac{A-B}{2}
\end{align*}
とすれば導出できる。
ページ情報
タイトル | 三角関数と双曲線関数の積和公式と和積公式 |
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