ライプニッツ級数

\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4} \]
が成り立つ。

\(|x|<1\)を考えると、
\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1} & =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}dx\\ & =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\ & =[\arctan x]_{0}^{x}\\ & =\arctan x \end{align*}
\(x=1\)のとき、交項級数のライプニッツ定理とアーベルの連続性定理より、
\[ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4} \]
が成り立つ。

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ライプニッツ級数

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https://www.nomuramath.com/s04t0d5m/

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