ライプニッツ級数
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}
\]
が成り立つ。
\(|x|<1\)を考えると、
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}x^{2n+1} & =\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}dx\\
& =\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx\\
& =[\arctan x]_{0}^{x}\\
& =\arctan x
\end{align*}
\(x=1\)のとき、交項級数のライプニッツ定理とアーベルの連続性定理より、
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}=\frac{\pi}{4}
\]
が成り立つ。
ページ情報
タイトル | ライプニッツ級数 |
URL | https://www.nomuramath.com/s04t0d5m/ |
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ウォリス積分の定義
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta
\]
対数の指数
\[
a^{\log_{b}c}=c^{\log_{b}a}
\]
中央2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27}
\]