余弦と正弦の2乗が肩にある方程式
余弦と正弦の2乗が肩にある方程式
\[
2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}=3
\]
を満たす\(x\)を全て求めよ。
\begin{align*} 0 & =2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}-3\\ & =2^{1-\sin^{2}x}+2^{\sin^{2}x}-3\\ & =\frac{2}{2^{\sin^{2}x}}+2^{\sin^{2}x}-3\\ & =\frac{1}{2^{\sin^{2}x}}\left(\left(2^{\sin^{2}x}\right)^{2}-3\left(2^{\sin^{2}x}\right)+2\right)\\ & =\frac{1}{2^{\sin^{2}x}}\left(\left(2^{\sin^{2}x}-1\right)\left(2^{\sin^{2}x}-2\right)\right) \end{align*}
これより、
\[ 2^{\sin^{2}x}=1,2 \]
となり、
\begin{align*} \sin^{2}x & =0,1\\ \sin x & =0,\pm1 \end{align*}
これより\(x\)は、
\[ x=\frac{\pi}{2}k\;,\;k\in\mathbb{Z} \]
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タイトル | 余弦と正弦の2乗が肩にある方程式 |
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eのπ乗とπのe乗の大小比較
\[
e^{\pi}\lesseqgtr\pi^{e}
\]
分母に(1+x²)²を含む積分
\[
\int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C
\]
対数のルート積分
\[
\int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C
\]
分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z\pm1\right)\sqrt{z^{2}-1}}dz=\frac{\sqrt{z^{2}-1}}{\pm z+1}+C
\]