ベータ関数・不完全ベータ関数の超幾何関数表示
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}F\left(\alpha,1-\beta;\alpha+1;z\right)
\]
カテゴリー: ベータ関数
不完全ベータ関数の性質
\[
B\left(z;\alpha,1\right)=\frac{z^{\alpha}}{\alpha}
\]
ベータ関数の特殊値
\[
B\left(\alpha,1\right)=\frac{1}{\alpha}
\]
不完全ベータ関数の漸化式
\[
B\left(z;\alpha+1,\beta\right)=\frac{1}{\alpha+\beta}\left(\alpha B\left(z;\alpha,\beta\right)-z^{\alpha}\left(1-z\right)^{\beta}\right)
\]
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
\[
B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right)
\]
ベータ関数の対称性
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=B\left(\beta,\alpha\right)
\]
ベータ関数・不完全ベータ関数・正則ベータ関数の定義
\[
B\left(\alpha,\beta\right)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt
\]
ベータ関数の絶対収束条件
ベータ関数$B\left(p,q\right)$は$\Re\left(p\right)>0\;\land\;\Re\left(q\right)>0$で絶対収束
２項係数とベータ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}
\]
ベータ関数の微分
\[
\frac{\partial}{\partial x}B(x,y)=B(x,y)\left\{ \psi(x)-\psi(x+y)\right\}
\]
ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示
\[
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C(k-y,k)}{x+k}
\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\]
ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
ベータ関数になる積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)
\]