有界単調数列は収束する

by nomura · 2023年10月14日

有界単調数列は収束する
実数の単調増加数列が上に有界ならばこの数列は収束する。
同様に実数の単調減少数列が下に有界ならばこの数列は収束する。

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有理数では成り立たない。
例えば数列$a_{n}=\sqrt{2}-\frac{1}{2^{n}}$は単調増加数列で上に有界であるが$\sqrt{2}$は有理数ではないので収束しない。

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数列が収束するならば有界であるので逆「実数の単調増加数列が収束するならば上に有界である。」も成り立つ。

単調増加数列を$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$とすると、上に有界なので上限定理より、$\sup\left\{ a_{n};n\in\mathbb{N}\right\} $が存在する。
$\sup\left\{ a_{n}\right\} $の性質より、任意の$\epsilon>0$に対し、ある$N\in\mathbb{N}$が存在し、$\sup\left\{ a_{n}\right\} -\epsilon<a_{N}\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} $となる。
これより、$0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{N}<\epsilon$となるが、$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$は単調増加数列なので、$N\leq n_{0}\Rightarrow0\leq\sup\left\{ a_{n}\right\} -a_{n_{0}}<\epsilon$となる。
これは$\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sup\left\{ a_{n}\right\} $を表している。
故に題意は成り立つ。