チェビシェフ多項式の奇遇性
チェビシェフ多項式の奇遇性
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
(1)
\[ T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x) \](2)
\[ U_{n}(-x)=(-1)^{n}U_{n}(x) \](1)
\begin{align*} T_{n}(-\cos t) & =T_{n}(\cos(\pi-t))\\ & =\cos\left(n(\pi-t)\right)\\ & =\cos(n\pi)\cos(-nt)-\sin(n\pi)\sin(-nt)\\ & =(-1)^{n}\cos(nt)\\ & =(-1)^{n}T_{n}(\cos t) \end{align*} これより、\[ T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x) \]
(2)
\begin{align*} U_{n}(-\cos t) & =U_{n}(\cos(\pi-t))\\ & =\frac{\sin((n+1)(\pi-t))}{\sin(\pi-t)}\\ & =\frac{\sin\left((n+1)\pi\right)\cos\left(-(n+1)t\right)+\cos\left((n+1)\pi\right)\sin\left(-(n+1)t\right)}{\sin t}\\ & =\frac{(-1)^{n}\sin\left((n+1)t\right)}{\sin t}\\ & =(-1)^{n}U_{n}(\cos t) \end{align*} これより、\[ U_{n}(-x)=(-1)^{n}U_{n}(x) \]
ページ情報
| タイトル | チェビシェフ多項式の奇遇性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/zlbeth48/ |
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チェビシェフ多項式の昇降演算子
\[
\left(\left(1-x^{2}\right)\frac{d}{dx}\mp nx\right)T_{n}(x)=\mp nT_{n\pm1}(x)
\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[
V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]