空集合の定義と性質
空集合の定義と性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
(1)
空集合は唯1つ存在する。任意の元\(x\)に対し、\(x\notin\emptyset\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
(1)
空集合が\(\emptyset_{1},\emptyset_{2}\)の2つあり\(\emptyset_{1}\ne\emptyset_{2}\)と仮定する。このとき、任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset_{1}\subseteq A\)が成り立つので\(A\)に\(\emptyset_{2}\)を代入すると、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)となる。
同様に\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)が成り立つ。
これより、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)かつ\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)なので\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となるので矛盾。
従って、背理法より\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となり、空集合は唯1つ存在する。
ページ情報
| タイトル | 空集合の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z4pn0ulj/ |
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各点収束・一様収束・広義一様収束の包含関係
\[
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\]
天井関数と床関数の和と差
\[
\left\lceil z\right\rceil -\left\lfloor z\right\rfloor =\sgn\mod\left(\Re z,1\right)+i\sgn\mod\left(\Im z,1\right)
\]
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\[
ax+by=1\text{が整数解を持つ}\Leftrightarrow a\text{と}b\text{は互いに素}
\]
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