カントールの区間縮小法
カントールの区間縮小法
閉区間\(I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right],\left(n\in\mathbb{N}\right)\)が\(I_{n}\supseteq I_{n+1}\)を満たし、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0\)となるとき、\(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}=\left\{ \alpha\right\} \)となる\(\alpha\)が存在する。
ここで\(\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\)である。
閉区間\(I_{n}=\left[a_{n},b_{n}\right],\left(n\in\mathbb{N}\right)\)が\(I_{n}\supseteq I_{n+1}\)を満たし、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0\)となるとき、\(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}I_{n}=\left\{ \alpha\right\} \)となる\(\alpha\)が存在する。
ここで\(\alpha=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}\)である。
\(a_{n}\)は有界で単調増加数列であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha\)となる\(\alpha\)が存在する。
同様に\(b_{n}\)は有界で単調減少数列であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\)となる\(\beta\)が存在する。
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\beta-\alpha=0\)なので\(\alpha=\beta\)となる。
任意の\(n\)に対し\(a_{n}\leq\alpha\leq b_{n}\)となるので\(\alpha\in I_{n}\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[a_{n},b_{n}\right]=\alpha\)となる。
これより、題意は成り立つ。
同様に\(b_{n}\)は有界で単調減少数列であるので\(\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\)となる\(\beta\)が存在する。
\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=\beta-\alpha=0\)なので\(\alpha=\beta\)となる。
任意の\(n\)に対し\(a_{n}\leq\alpha\leq b_{n}\)となるので\(\alpha\in I_{n}\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}I_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[a_{n},b_{n}\right]=\alpha\)となる。
これより、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | カントールの区間縮小法 |
| URL | https://www.nomuramath.com/tmv0mq6l/ |
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実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
単調減少数列・単調増加数列の極限・上限・下限は存在
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の積
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]